Tentukan hasil limit berikut. lim x->1

Hasil limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^2 - 1}$ adalah -1.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x^2 - 1}$, pertama kita coba substitusikan $x = 1$ ke dalam fungsi.

Pembilang: $(1)^3 - 2(1)^2 - (1) + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$
Penyebut: $(1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut, biasanya dengan faktorisasi.

Faktorkan pembilang $x^3 - 2x^2 - x + 2$. Kita bisa menggunakan pemfaktoran dengan pengelompokan:
$x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - 1(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2)$

Perhatikan bahwa $x^2 - 1$ di pembilang adalah selisih kuadrat, yang dapat difaktorkan menjadi $(x - 1)(x + 1)$.
Jadi, pembilang menjadi $(x - 1)(x + 1)(x - 2)$.

Faktorkan penyebut $x^2 - 1$. Ini juga selisih kuadrat:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)}$

Kita dapat membatalkan faktor yang sama di pembilang dan penyebut, yaitu $(x - 1)$ dan $(x + 1)$, asalkan $x \neq 1$ dan $x \neq -1$ (yang memang benar saat kita mengambil limit saat $x \to 1$).

$\lim_{x \to 1} (x - 2)$

Sekarang substitusikan $x = 1$ ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
$1 - 2 = -1$

Jadi, hasil limitnya adalah -1.