Tentukan hasil pengintegralan berikut. integral

$\frac{2}{5}x^{5/2} - 2x^{3/2} + C$

Pembahasan

Untuk menentukan hasil pengintegralan dari $\int \sqrt{x}(x-3) dx$, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam integral terlebih dahulu.

$\\int \sqrt{x}(x-3) dx = \int (x^{1/2})(x-3) dx$

Distribusikan $\sqrt{x}$ ke dalam tanda kurung:
$= \int (x^{1/2} \cdot x^1 - 3x^{1/2}) dx$
$= \int (x^{1/2 + 1} - 3x^{1/2}) dx$
$= \int (x^{3/2} - 3x^{1/2}) dx$

Sekarang, integralkan setiap suku secara terpisah menggunakan aturan pangkat $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

Untuk suku pertama, $\int x^{3/2} dx$:
$n = 3/2$
$n+1 = 3/2 + 1 = 5/2$
$\\frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}$

Untuk suku kedua, $\int -3x^{1/2} dx$:
$-3 \int x^{1/2} dx$
$n = 1/2$
$n+1 = 1/2 + 1 = 3/2$
$-3 \frac{x^{3/2}}{3/2} = -3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = -2x^{3/2}$

Gabungkan hasil integral kedua suku dan tambahkan konstanta integrasi C:
$\\int \sqrt{x}(x-3) dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - 2x^{3/2} + C$

Jadi, hasil pengintegralan dari $\int \sqrt{x}(x-3) dx$ adalah $\frac{2}{5}x^{5/2} - 2x^{3/2} + C$.