Kelas 10mathLogaritma
Tentukan himpunan penyelesaian dari: 3log(x-2)+3log(x+6)=2
Pertanyaan
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma: $3\log(x-2)+3\log(x+6)=2$
Solusi
Verified
Himpunan penyelesaiannya adalah {3}.
Pembahasan
Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma \(3\log(x-2) + 3\log(x+6) = 2\), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. **Gabungkan logaritma:** Menggunakan sifat logaritma \(\log_b M + \log_b N = \log_b (MN)\), kita dapat menggabungkan suku-suku di sisi kiri persamaan: \(3\log((x-2)(x+6)) = 2\) 2. **Ubah ke bentuk eksponensial:** Persamaan logaritma \(\log_b A = C\) setara dengan \(b^C = A\). Dalam kasus ini, basis logaritma adalah 3, hasilnya adalah 2, dan argumennya adalah \((x-2)(x+6)\): \(3^2 = (x-2)(x+6)\) \(9 = x^2 + 6x - 2x - 12\) \(9 = x^2 + 4x - 12\) 3. **Susun menjadi persamaan kuadrat:** Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat: \(x^2 + 4x - 12 - 9 = 0\) \(x^2 + 4x - 21 = 0\) 4. **Faktorkan persamaan kuadrat:** Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -21 dan jika dijumlahkan menghasilkan 4. Bilangan tersebut adalah 7 dan -3: \((x+7)(x-3) = 0\) 5. **Tentukan nilai x:** Dari faktorisasi tersebut, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai x: \(x+7 = 0 \Rightarrow x = -7\) \(x-3 = 0 \Rightarrow x = 3\) 6. **Periksa domain logaritma:** Argumen logaritma harus selalu positif. Kita perlu memeriksa apakah kedua nilai x memenuhi domain \(x-2 > 0\) dan \(x+6 > 0\). * Untuk \(x = -7\): * \(x-2 = -7-2 = -9\) (Tidak memenuhi \(x-2 > 0\)) * \(x+6 = -7+6 = -1\) (Tidak memenuhi \(x+6 > 0\)) Karena kedua kondisi domain tidak terpenuhi, \(x = -7\) bukan merupakan solusi. * Untuk \(x = 3\): * \(x-2 = 3-2 = 1\) (Memenuhi \(x-2 > 0\)) * \(x+6 = 3+6 = 9\) (Memenuhi \(x+6 > 0\)) Karena kedua kondisi domain terpenuhi, \(x = 3\) adalah solusi. Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan \(3\log(x-2) + 3\log(x+6) = 2\) adalah \({3}\).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Persamaan Logaritma
Section: Sifat Sifat Logaritma, Pertidaksamaan Logaritma
Apakah jawaban ini membantu?