Tentukan himpunan penyelesaian dari: 3log(x-2)+3log(x+6)=2

Himpunan penyelesaiannya adalah {3}.

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma \(3\log(x-2) + 3\log(x+6) = 2\), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Gabungkan logaritma:** Menggunakan sifat logaritma \(\log_b M + \log_b N = \log_b (MN)\), kita dapat menggabungkan suku-suku di sisi kiri persamaan:
    \(3\log((x-2)(x+6)) = 2\)

2.  **Ubah ke bentuk eksponensial:** Persamaan logaritma \(\log_b A = C\) setara dengan \(b^C = A\). Dalam kasus ini, basis logaritma adalah 3, hasilnya adalah 2, dan argumennya adalah \((x-2)(x+6)\):
    \(3^2 = (x-2)(x+6)\)
    \(9 = x^2 + 6x - 2x - 12\)
    \(9 = x^2 + 4x - 12\)

3.  **Susun menjadi persamaan kuadrat:** Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
    \(x^2 + 4x - 12 - 9 = 0\)
    \(x^2 + 4x - 21 = 0\)

4.  **Faktorkan persamaan kuadrat:** Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -21 dan jika dijumlahkan menghasilkan 4. Bilangan tersebut adalah 7 dan -3:
    \((x+7)(x-3) = 0\)

5.  **Tentukan nilai x:** Dari faktorisasi tersebut, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai x:
    \(x+7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
    \(x-3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

6.  **Periksa domain logaritma:** Argumen logaritma harus selalu positif. Kita perlu memeriksa apakah kedua nilai x memenuhi domain \(x-2 > 0\) dan \(x+6 > 0\).
    *   Untuk \(x = -7\):
        *   \(x-2 = -7-2 = -9\) (Tidak memenuhi \(x-2 > 0\))
        *   \(x+6 = -7+6 = -1\) (Tidak memenuhi \(x+6 > 0\))
        Karena kedua kondisi domain tidak terpenuhi, \(x = -7\) bukan merupakan solusi.
    *   Untuk \(x = 3\):
        *   \(x-2 = 3-2 = 1\) (Memenuhi \(x-2 > 0\))
        *   \(x+6 = 3+6 = 9\) (Memenuhi \(x+6 > 0\))
        Karena kedua kondisi domain terpenuhi, \(x = 3\) adalah solusi.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan \(3\log(x-2) + 3\log(x+6) = 2\) adalah \({3}\).