Tentukan himpunan penyelesaian dari |3x-2|>=|2x+7|!

Himpunan penyelesaiannya adalah x <= -1 atau x >= 9.

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |3x-2| >= |2x+7|, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan nilai mutlak:

(3x - 2)^2 >= (2x + 7)^2

Jabarkan kedua sisi:
(9x^2 - 12x + 4) >= (4x^2 + 28x + 49)

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
9x^2 - 4x^2 - 12x - 28x + 4 - 49 >= 0
5x^2 - 40x - 45 >= 0

Bagi seluruh pertidaksamaan dengan 5 untuk menyederhanakannya:
 x^2 - 8x - 9 >= 0

Sekarang, faktorkan pertidaksamaan kuadrat tersebut:
Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -9 dan jika dijumlahkan menghasilkan -8. Bilangan tersebut adalah -9 dan 1.
(x - 9)(x + 1) >= 0

Untuk menemukan himpunan penyelesaian, kita tentukan pembuat nol dari faktor-faktor tersebut:
x - 9 = 0  => x = 9
x + 1 = 0  => x = -1

Ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: (-∞, -1], [-1, 9], dan [9, ∞).
Kita uji nilai dari setiap interval untuk melihat di mana (x - 9)(x + 1) >= 0:

1. Interval (-∞, -1]: Ambil x = -2
   (-2 - 9)(-2 + 1) = (-11)(-1) = 11.  11 >= 0 (Benar)

2. Interval [-1, 9]: Ambil x = 0
   (0 - 9)(0 + 1) = (-9)(1) = -9.  -9 >= 0 (Salah)

3. Interval [9, ∞): Ambil x = 10
   (10 - 9)(10 + 1) = (1)(11) = 11.  11 >= 0 (Benar)

Himpunan penyelesaian adalah interval di mana pertidaksamaan bernilai benar, yaitu x <= -1 atau x >= 9.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x <= -1 atau x >= 9}.