Garis g melalui titik (4,3) memotong sumbu X positif di A

10

Pembahasan

Misalkan titik potong garis g dengan sumbu X positif adalah A(a, 0) dan dengan sumbu Y positif adalah B(0, b).
Persamaan garis g yang memotong sumbu X di a dan sumbu Y di b adalah (x/a) + (y/b) = 1.
Karena garis g melalui titik (4,3), maka:
(4/a) + (3/b) = 1

Luas segitiga AOB adalah L = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * a * b.
Kita perlu mencari nilai minimum dari L.
Dari persamaan (4/a) + (3/b) = 1, kita bisa ubah menjadi:
3/b = 1 - (4/a)
3/b = (a-4)/a
b = 3a / (a-4)

Substitusikan b ke dalam rumus luas:
L = (1/2) * a * [3a / (a-4)]
L = (3a^2) / (2(a-4))

Untuk mencari minimum, kita turunkan L terhadap a dan samakan dengan nol:
dL/da = d/da [ (3/2) * a^2 * (a-4)^(-1) ]
Karena turunan dari u/v adalah (u'v - uv')/v^2:
Misal u = a^2, u' = 2a
Misal v = a-4, v' = 1

dL/da = (3/2) * [ (2a(a-4) - a^2(1)) / (a-4)^2 ]
0 = (3/2) * [ (2a^2 - 8a - a^2) / (a-4)^2 ]
0 = (3/2) * [ (a^2 - 8a) / (a-4)^2 ]
0 = a^2 - 8a
0 = a(a-8)
Maka, a = 8 (karena memotong sumbu X positif).

Sekarang kita cari nilai b:
b = 3a / (a-4) = 3(8) / (8-4) = 24 / 4 = 6.

Panjang ruas garis AB adalah jarak antara titik A(8, 0) dan B(0, 6).
AB = sqrt((8-0)^2 + (0-6)^2)
AB = sqrt(8^2 + (-6)^2)
AB = sqrt(64 + 36)
AB = sqrt(100)
AB = 10