Kelas 10Kelas 11mathGeometri
Garis g melalui titik (4,3) memotong sumbu X positif di A
Pertanyaan
Garis g melalui titik (4,3) memotong sumbu X positif di A dan sumbu Y positif di B. Agar luas segitiga AOB minimum, maka panjang ruas garis AB adalah ....
Solusi
Verified
10
Pembahasan
Misalkan titik potong garis g dengan sumbu X positif adalah A(a, 0) dan dengan sumbu Y positif adalah B(0, b). Persamaan garis g yang memotong sumbu X di a dan sumbu Y di b adalah (x/a) + (y/b) = 1. Karena garis g melalui titik (4,3), maka: (4/a) + (3/b) = 1 Luas segitiga AOB adalah L = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * a * b. Kita perlu mencari nilai minimum dari L. Dari persamaan (4/a) + (3/b) = 1, kita bisa ubah menjadi: 3/b = 1 - (4/a) 3/b = (a-4)/a b = 3a / (a-4) Substitusikan b ke dalam rumus luas: L = (1/2) * a * [3a / (a-4)] L = (3a^2) / (2(a-4)) Untuk mencari minimum, kita turunkan L terhadap a dan samakan dengan nol: dL/da = d/da [ (3/2) * a^2 * (a-4)^(-1) ] Karena turunan dari u/v adalah (u'v - uv')/v^2: Misal u = a^2, u' = 2a Misal v = a-4, v' = 1 dL/da = (3/2) * [ (2a(a-4) - a^2(1)) / (a-4)^2 ] 0 = (3/2) * [ (2a^2 - 8a - a^2) / (a-4)^2 ] 0 = (3/2) * [ (a^2 - 8a) / (a-4)^2 ] 0 = a^2 - 8a 0 = a(a-8) Maka, a = 8 (karena memotong sumbu X positif). Sekarang kita cari nilai b: b = 3a / (a-4) = 3(8) / (8-4) = 24 / 4 = 6. Panjang ruas garis AB adalah jarak antara titik A(8, 0) dan B(0, 6). AB = sqrt((8-0)^2 + (0-6)^2) AB = sqrt(8^2 + (-6)^2) AB = sqrt(64 + 36) AB = sqrt(100) AB = 10
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Garis Dan Sudut
Section: Persamaan Garis Lurus
Apakah jawaban ini membantu?