Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut. 6

Himpunan penyelesaiannya adalah {5, -3/2}.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah 6 log (2x^2-7x-14) = 7 log (2x^2-7x-14).
Misalkan y = log (2x^2-7x-14).
Maka persamaan menjadi 6y = 7y.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa mengurangkan 6y dari kedua sisi:
0 = 7y - 6y
0 = y

Jadi, log (2x^2-7x-14) = 0.

Untuk menghilangkan logaritma (dengan basis apa pun, biasanya 10 atau e), kita pangkatkan kedua sisi dengan basis logaritma tersebut. Jika kita mengasumsikan basisnya adalah 10:
10^log (2x^2-7x-14) = 10^0
2x^2-7x-14 = 1

Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat ini:
2x^2 - 7x - 14 - 1 = 0
2x^2 - 7x - 15 = 0

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat (rumus abc) atau faktorisasi untuk mencari nilai x.
Rumus kuadrat: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a=2, b=-7, c=-15.
x = [ -(-7) ± sqrt((-7)^2 - 4*2*(-15)) ] / (2*2)
x = [ 7 ± sqrt(49 + 120) ] / 4
x = [ 7 ± sqrt(169) ] / 4
x = [ 7 ± 13 ] / 4

Maka, ada dua solusi:
x1 = (7 + 13) / 4 = 20 / 4 = 5
x2 = (7 - 13) / 4 = -6 / 4 = -3/2

Namun, kita harus memeriksa syarat domain logaritma, yaitu argumen logaritma harus positif: 2x^2-7x-14 > 0.

Untuk x = 5:
2(5)^2 - 7(5) - 14 = 2(25) - 35 - 14 = 50 - 35 - 14 = 15 - 14 = 1.
Karena 1 > 0, maka x = 5 adalah solusi yang valid.

Untuk x = -3/2:
2(-3/2)^2 - 7(-3/2) - 14 = 2(9/4) + 21/2 - 14 = 9/2 + 21/2 - 28/2 = (9 + 21 - 28) / 2 = 2/2 = 1.
Karena 1 > 0, maka x = -3/2 adalah solusi yang valid.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {5, -3/2}.