Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut untuk

{127°, 233°}

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\cos x = \cos 127^{\circ}$ untuk $x \in [0, 360^{\circ}]$.

Dalam trigonometri, persamaan $\cos x = \cos \alpha$ memiliki solusi umum:
1. $x = \alpha + k \cdot 360^{\circ}$
2. $x = -\alpha + k \cdot 360^{\circ}$

diperoleh dari sifat simetri fungsi kosinus (cosinus bernilai sama di kuadran I dan IV).

Dalam kasus ini, $\alpha = 127^{\circ}$.

Untuk solusi pertama: $x = 127^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
- Jika k = 0, maka $x = 127^{\circ}$. Nilai ini berada dalam rentang $[0, 360^{\circ}]$.
- Jika k = 1, maka $x = 127^{\circ} + 360^{\circ} = 487^{\circ}$. Nilai ini di luar rentang.
- Jika k = -1, maka $x = 127^{\circ} - 360^{\circ} = -233^{\circ}$. Nilai ini di luar rentang.

Untuk solusi kedua: $x = -127^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$
- Jika k = 0, maka $x = -127^{\circ}$. Nilai ini di luar rentang.
- Jika k = 1, maka $x = -127^{\circ} + 360^{\circ} = 233^{\circ}$. Nilai ini berada dalam rentang $[0, 360^{\circ}]$.
- Jika k = 2, maka $x = -127^{\circ} + 720^{\circ} = 593^{\circ}$. Nilai ini di luar rentang.

Jadi, himpunan penyelesaian untuk persamaan $\cos x = \cos 127^{\circ}$ dalam rentang $[0, 360^{\circ}]$ adalah {$127^{\circ}, 233^{\circ}$}.

Perhatikan bahwa $233^{\circ}$ adalah sudut di kuadran III, dan $\cos 233^{\circ} = \cos (360^{\circ} - 127^{\circ}) = \cos 127^{\circ}$.