Tentukan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan

{x | x ≤ -3 atau x > -2, x ∈ R}

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ((x-1)/(2+x)) <= 4 untuk x ∈ R:

1.  **Pindahkan semua suku ke satu sisi:**
    ((x-1)/(2+x)) - 4 <= 0

2.  **Samakan penyebutnya:**
    ((x-1) - 4(2+x)) / (2+x) <= 0
    (x - 1 - 8 - 4x) / (2+x) <= 0
    (-3x - 9) / (2+x) <= 0

3.  **Kalikan dengan -1 dan balikkan tanda pertidaksamaan:**
    (3x + 9) / (2+x) >= 0

4.  **Tentukan pembuat nol untuk pembilang dan penyebut:**
    Pembilang: 3x + 9 = 0  =>  3x = -9  =>  x = -3
    Penyebut: 2 + x = 0  =>  x = -2

5.  **Buat garis bilangan dan uji interval:**
    Garis bilangan dibagi oleh -3 dan -2.
    Kita perlu menguji tanda ekspresi (3x + 9) / (2+x) pada interval (-∞, -3), (-3, -2), dan (-2, ∞).

    *   **Interval x < -3:** Ambil x = -4.
        (3(-4) + 9) / (2 + (-4)) = (-12 + 9) / (-2) = -3 / -2 = 3/2 (Positif).
    *   **Interval -3 < x < -2:** Ambil x = -2.5.
        (3(-2.5) + 9) / (2 + (-2.5)) = (-7.5 + 9) / (-0.5) = 1.5 / -0.5 = -3 (Negatif).
    *   **Interval x > -2:** Ambil x = 0.
        (3(0) + 9) / (2 + 0) = 9 / 2 (Positif).

6.  **Tentukan solusi berdasarkan pertidaksamaan (>= 0):**
    Kita mencari interval di mana ekspresi bernilai positif atau nol.
    Dari uji interval, ekspresi positif pada x < -3 dan x > -2.
    Perhatikan bahwa x tidak boleh sama dengan -2 karena akan membuat penyebut nol.
    Nilai x = -3 membuat pembilang nol, sehingga ekspresi menjadi nol, yang memenuhi pertidaksamaan (>= 0).

    Jadi, solusinya adalah x <= -3 atau x > -2.

**Jawaban:**
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ((x-1)/(2+x)) <= 4 adalah {x | x ≤ -3 atau x > -2, x ∈ R}.