Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini

Himpunan penyelesaiannya adalah x=2, y=4, z=6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear:
x + y + z = 12
2x - y + 2z = 12
3x + 2y - z = 8
menggunakan metode determinan (Aturan Cramer), kita perlu menghitung beberapa determinan:
1. Determinan utama (D): Determinan dari matriks koefisien.
D = | 1  1  1 |
    | 2 -1  2 |
    | 3  2 -1 |
D = 1((-1)(-1) - (2)(2)) - 1((2)(-1) - (2)(3)) + 1((2)(2) - (-1)(3))
D = 1(1 - 4) - 1(-2 - 6) + 1(4 + 3)
D = 1(-3) - 1(-8) + 1(7)
D = -3 + 8 + 7 = 12

2. Determinan Dx: Ganti kolom koefisien x dengan matriks konstanta.
Dx = | 12  1  1 |
     | 12 -1  2 |
     |  8  2 -1 |
Dx = 12((-1)(-1) - (2)(2)) - 1((12)(-1) - (2)(8)) + 1((12)(2) - (-1)(8))
Dx = 12(1 - 4) - 1(-12 - 16) + 1(24 + 8)
Dx = 12(-3) - 1(-28) + 1(32)
Dx = -36 + 28 + 32 = 24

3. Determinan Dy: Ganti kolom koefisien y dengan matriks konstanta.
Dy = |  1 12  1 |
     |  2 12  2 |
     |  3  8 -1 |
Dy = 1((12)(-1) - (2)(8)) - 12((2)(-1) - (2)(3)) + 1((2)(8) - (12)(3))
Dy = 1(-12 - 16) - 12(-2 - 6) + 1(16 - 36)
Dy = 1(-28) - 12(-8) + 1(-20)
Dy = -28 + 96 - 20 = 48

4. Determinan Dz: Ganti kolom koefisien z dengan matriks konstanta.
Dz = |  1  1 12 |
     |  2 -1 12 |
     |  3  2  8 |
Dz = 1((-1)(8) - (12)(2)) - 1((2)(8) - (12)(3)) + 12((2)(2) - (-1)(3))
Dz = 1(-8 - 24) - 1(16 - 36) + 12(4 + 3)
Dz = 1(-32) - 1(-20) + 12(7)
Dz = -32 + 20 + 84 = 72

Sekarang, kita dapat menemukan nilai x, y, dan z:
x = Dx / D = 24 / 12 = 2
y = Dy / D = 48 / 12 = 4
z = Dz / D = 72 / 12 = 6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x=2, y=4, z=6.