Tentukan integral (x^2+3) akar(2x+7) dx.

Integral dari (x^2+3) akar(2x+7) dx adalah (1/28)(2x+7)^(7/2) - (7/10)(2x+7)^(5/2) + (61/12)(2x+7)^(3/2) + C.

Pembahasan

Untuk menentukan integral dari (x^2+3) akar(2x+7) dx, kita dapat menggunakan metode substitusi atau integrasi parsial. Mari kita gunakan metode substitusi.

Misalkan u = 2x + 7. Maka, du = 2 dx, atau dx = du/2.
Juga, x = (u - 7) / 2, sehingga x^2 = ((u - 7) / 2)^2 = (u^2 - 14u + 49) / 4.

Substitusikan ke dalam integral:
∫ [((u^2 - 14u + 49) / 4) + 3] * sqrt(u) * (du/2)
= ∫ [((u^2 - 14u + 49 + 12) / 4)] * u^(1/2) * (du/2)
= ∫ [(u^2 - 14u + 61) / 4] * u^(1/2) * (du/2)
= (1/8) ∫ (u^(2 + 1/2) - 14u^(1 + 1/2) + 61u^(1/2)) du
= (1/8) ∫ (u^(5/2) - 14u^(3/2) + 61u^(1/2)) du

Sekarang, integralkan terhadap u:
= (1/8) [ (u^(7/2) / (7/2)) - 14(u^(5/2) / (5/2)) + 61(u^(3/2) / (3/2)) ] + C
= (1/8) [ (2/7)u^(7/2) - (28/5)u^(5/2) + (122/3)u^(3/2) ] + C

Substitusikan kembali u = 2x + 7:
= (1/8) [ (2/7)(2x+7)^(7/2) - (28/5)(2x+7)^(5/2) + (122/3)(2x+7)^(3/2) ] + C
= (1/28)(2x+7)^(7/2) - (7/10)(2x+7)^(5/2) + (122/24)(2x+7)^(3/2) + C
= (1/28)(2x+7)^(7/2) - (7/10)(2x+7)^(5/2) + (61/12)(2x+7)^(3/2) + C