Tentukan interval naik dan turun untuk 0 < x < 2 pi. f(x) =

Naik: (0, 3π/4) U (7π/4, 2π), Turun: (3π/4, 7π/4)

Pembahasan

Untuk menentukan interval naik dan turun dari fungsi f(x) = sin x - cos x pada interval 0 < x < 2π, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan itu positif (naik) atau negatif (turun).

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
Turunan dari sin x adalah cos x.
Turunan dari -cos x adalah -(-sin x) = sin x.
Jadi, f'(x) = cos x + sin x.

Langkah 2: Tentukan interval di mana f'(x) > 0 (naik) dan f'(x) < 0 (turun).

Untuk interval naik (f'(x) > 0):
cos x + sin x > 0

Untuk interval turun (f'(x) < 0):
cos x + sin x < 0

Kita perlu mencari nilai x di mana cos x + sin x = 0.
cos x = -sin x
Jika cos x ≠ 0, kita bisa membagi kedua sisi dengan cos x:
1 = -tan x
tan x = -1

Dalam interval 0 < x < 2π, tan x bernilai -1 pada:
x = 3π/4 dan x = 7π/4.

Sekarang kita uji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai ini:

Interval 1: 0 < x < 3π/4
Ambil x = π/4 (misalnya).
f'(π/4) = cos(π/4) + sin(π/4) = (√2/2) + (√2/2) = √2. Karena √2 > 0, fungsi naik pada interval ini.

Interval 2: 3π/4 < x < 7π/4
Ambil x = π (misalnya).
f'(π) = cos(π) + sin(π) = -1 + 0 = -1. Karena -1 < 0, fungsi turun pada interval ini.

Interval 3: 7π/4 < x < 2π
Ambil x = 11π/4 (misalnya, yang setara dengan 3π/4 + 2π, tapi kita perlu di dalam 0 < x < 2π, jadi ambil x = 7π/4 + π/4 = 2π, yang mana batasnya. Mari kita ambil nilai yang mendekati 2π, misal 11π/6).
f'(11π/6) = cos(11π/6) + sin(11π/6) = (√3/2) + (-1/2) = (√3 - 1)/2. Karena √3 ≈ 1.732, maka (1.732 - 1)/2 = 0.732/2 = 0.366 > 0. Jadi, fungsi naik pada interval ini.

Kesimpulan:
Interval naik: (0, 3π/4) U (7π/4, 2π)
Interval turun: (3π/4, 7π/4)