Tentukan jarak titik (1, 2, 3) ke garis yang melalui titik

Jaraknya adalah (4 * sqrt(34)) / 7.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik P(1, 2, 3) ke garis yang melalui titik A(1, -2, -1) dan B(4, 4, 1), kita dapat menggunakan vektor.

1.  Tentukan vektor arah garis (vektor AB):
    AB = B - A = (4-1, 4-(-2), 1-(-1)) = (3, 6, 2)

2.  Tentukan vektor dari salah satu titik pada garis (misalnya A) ke titik P (vektor AP):
    AP = P - A = (1-1, 2-(-2), 3-(-1)) = (0, 4, 4)

3.  Gunakan rumus jarak titik ke garis:
    Jarak = ||AP x AB|| / ||AB||

    Hitung hasil perkalian silang (cross product) AP x AB:
    AP x AB = |
        i   j   k
        0   4   4
        3   6   2
    |
    = i(4*2 - 4*6) - j(0*2 - 4*3) + k(0*6 - 4*3)
    = i(8 - 24) - j(0 - 12) + k(0 - 12)
    = -16i + 12j - 12k
    = (-16, 12, -12)

    Hitung magnitudo (panjang) dari AP x AB:
    ||AP x AB|| = sqrt((-16)^2 + 12^2 + (-12)^2)
    = sqrt(256 + 144 + 144)
    = sqrt(544)

    Hitung magnitudo (panjang) dari AB:
    ||AB|| = sqrt(3^2 + 6^2 + 2^2)
    = sqrt(9 + 36 + 4)
    = sqrt(49)
    = 7

    Hitung jaraknya:
    Jarak = ||AP x AB|| / ||AB||
    Jarak = sqrt(544) / 7
    Jarak = sqrt(16 * 34) / 7
    Jarak = 4 * sqrt(34) / 7

Jadi, jarak titik (1, 2, 3) ke garis yang melalui titik (1, -2, -1) dan (4, 4, 1) adalah (4 * sqrt(34)) / 7.