Tentukan kapan fungsi berikut ini naik dan turun.

Naik pada (-∞, -3) U (1, ∞), Turun pada (-3, 1)

Pembahasan

Untuk menentukan kapan fungsi f(x)=x^3+3x^2-9x-1 naik dan turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut (f'(x)) dan menganalisis tandanya.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
f'(x) = d/dx (x^3+3x^2-9x-1)
f'(x) = 3x^2 + 6x - 9

Langkah 2: Tentukan titik kritis dengan menyamakan f'(x) = 0.
3x^2 + 6x - 9 = 0
Kita bisa membagi seluruh persamaan dengan 3:
x^2 + 2x - 3 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(x + 3)(x - 1) = 0
Jadi, titik kritisnya adalah x = -3 dan x = 1.

Langkah 3: Analisis tanda f'(x) pada interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis.
Intervalnya adalah (-∞, -3), (-3, 1), dan (1, ∞).

Pilih nilai uji dari setiap interval:
- Untuk interval (-∞, -3), pilih x = -4:
f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 (positif)
Karena f'(x) > 0, fungsi naik pada interval ini.

- Untuk interval (-3, 1), pilih x = 0:
f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 (negatif)
Karena f'(x) < 0, fungsi turun pada interval ini.

- Untuk interval (1, ∞), pilih x = 2:
f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 (positif)
Karena f'(x) > 0, fungsi naik pada interval ini.

Kesimpulan:
Fungsi f(x) naik pada interval (-∞, -3) dan (1, ∞).
Fungsi f(x) turun pada interval (-3, 1).