Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, dan persamaan

Titik puncak: (-1, 2/3), Titik fokus: (-1, -1/3), Garis direktriks: y = 5/3

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik puncak, titik fokus, dan persamaan garis direktriks dari parabola \(3x^2 + 6x + 12y = 5\), kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar. Bentuk standar parabola vertikal adalah \((x-h)^2 = 4p(y-k)\), di mana \((h, k)\) adalah koordinat titik puncak.

Langkah 1: Ubah persamaan.
\(3x^2 + 6x + 12y = 5\
Bagi kedua sisi dengan 3:
\(x^2 + 2x + 4y = 5/3\
Pindahkan konstanta ke sisi kanan:
\(x^2 + 2x = -4y + 5/3\
Lengkapi kuadrat pada sisi kiri dengan menambahkan \((2/2)^2 = 1\) ke kedua sisi:
\(x^2 + 2x + 1 = -4y + 5/3 + 1\
\((x+1)^2 = -4y + 8/3\
Faktorkan \(-4\) dari sisi kanan:
\((x+1)^2 = -4(y - 2/3)\

Langkah 2: Tentukan titik puncak.
Dari bentuk \((x-h)^2 = 4p(y-k)\), kita dapat melihat bahwa \(h = -1\) dan \(k = 2/3\). Jadi, titik puncak adalah \((-1, 2/3)\).

Langkah 3: Tentukan nilai \(p\).
Bandingkan \((x+1)^2 = -4(y - 2/3)\) dengan \((x-h)^2 = 4p(y-k)\). Kita dapat melihat bahwa \(4p = -4\), sehingga \(p = -1\).

Langkah 4: Tentukan titik fokus.
Karena \(p\) bernilai negatif, parabola terbuka ke bawah. Titik fokus berjarak \(|p|\) satuan dari titik puncak pada sumbu simetri. Sumbu simetri adalah garis vertikal \(x = h\), yaitu \(x = -1\).
Koordinat titik fokus adalah \((h, k+p)\) = \((-1, 2/3 + (-1))\) = \((-1, -1/3)\).

Langkah 5: Tentukan persamaan garis direktriks.
Garis direktriks adalah garis horizontal yang berjarak \(|p|\) satuan dari titik puncak, berlawanan arah dengan parabola terbuka. Persamaan garis direktriks adalah \(y = k-p\).
\(y = 2/3 - (-1)\)
\(y = 2/3 + 1\)
\(y = 5/3\)

Langkah 6: Sketsa grafik.
Titik puncak berada di \((-1, 2/3)\). Parabola terbuka ke bawah karena koefisien \(y\) dalam bentuk standar negatif. Titik fokus berada di \((-1, -1/3)\) dan garis direktriks adalah \(y = 5/3\). Sumbu simetri adalah \(x = -1\).