Tentukan limit berikut ini. lim x->0 (x - sin x)/(x sin x)

Nilai limit adalah 0.

Pembahasan

Untuk menentukan limit $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit di sisi kanan ada.

Misalkan $f(x) = x - \sin x$ dan $g(x) = x \sin x$.
Turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x) = \frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x$.

Untuk mencari turunan dari $g(x) = x \sin x$, kita gunakan aturan perkalian (product rule): $g'(x) = \frac{d}{dx}(x) \sin x + x \frac{d}{dx}(\sin x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Sekarang kita terapkan aturan L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x}$

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita mendapatkan $\frac{1 - \cos 0}{\sin 0 + 0 \cos 0} = \frac{1 - 1}{0 + 0} = \frac{0}{0}$, yang masih merupakan bentuk tak tentu. Jadi, kita terapkan aturan L'Hôpital sekali lagi.

Turunan dari $f'(x) = 1 - \cos x$ adalah $f''(x) = \frac{d}{dx}(1 - \cos x) = 0 - (-\sin x) = \sin x$.

Turunan dari $g'(x) = \sin x + x \cos x$ adalah $g''(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(x \cos x) = \cos x + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$.

Sekarang terapkan aturan L'Hôpital lagi:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \cos x - x \sin x}$

Substitusikan x=0:
$\frac{\sin 0}{2 \cos 0 - 0 \sin 0} = \frac{0}{2(1) - 0} = \frac{0}{2} = 0$.

Jadi, nilai limitnya adalah 0.