Tentukan limit berikut ini. lim x->1

1/4

Pembahasan

Untuk menentukan limit lim x→1 (1 - cos²(x-1))/(4(x² - 2x + 1)), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan manipulasi aljabar.

Pertama, perhatikan bahwa 1 - cos²(θ) = sin²(θ). Jadi, pembilang menjadi sin²(x-1).

Selanjutnya, perhatikan penyebutnya: 4(x² - 2x + 1). Ekspresi di dalam kurung adalah kuadrat sempurna, (x - 1)².

Jadi, limitnya menjadi: lim x→1 sin²(x-1) / (4(x - 1)²)

Kita bisa menulis ulang ini sebagai: (1/4) * lim x→1 [sin(x-1) / (x-1)]²

Kita tahu bahwa limit standar lim θ→0 sin(θ)/θ = 1.

Dalam kasus ini, saat x → 1, maka (x - 1) → 0. Jadi, kita bisa mengganti θ dengan (x - 1).

Oleh karena itu, lim x→1 sin(x-1) / (x-1) = 1.

Maka, limit keseluruhan adalah: (1/4) * [1]² = 1/4.

Jadi, lim x→1 (1 - cos²(x-1))/(4(x² - 2x + 1)) = 1/4.