Tentukan limit x mendekati tak hingga ((x-1)/(x+1))^(3x-2)

e^-6

Pembahasan

Untuk menentukan limit x mendekati tak hingga dari ((x-1)/(x+1))^(3x-2), kita dapat menggunakan sifat limit dan manipulasi aljabar. Pertama, ubah bentuk basisnya menjadi bentuk yang lebih mudah dikelola:
((x-1)/(x+1)) = ((x+1-2)/(x+1)) = 1 - 2/(x+1)
Kemudian, limitnya menjadi:
lim (x→∞) [1 - 2/(x+1)]^(3x-2)
Ini adalah bentuk indeterminate 1^∞. Kita bisa menggunakan sifat bahwa jika lim (x→∞) [f(x)]^g(x) adalah 1^∞, maka limitnya adalah e^(lim (x→∞) g(x) * (f(x)-1)).
Dalam kasus ini, f(x) = (x-1)/(x+1) dan g(x) = 3x-2.
Maka, f(x)-1 = (x-1)/(x+1) - 1 = (x-1 - (x+1))/(x+1) = -2/(x+1).
Sekarang kita hitung limit dari g(x) * (f(x)-1):
lim (x→∞) (3x-2) * (-2/(x+1))
= lim (x→∞) (-6x+4)/(x+1)
Untuk mencari limit ini, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x, yaitu x:
= lim (x→∞) (-6 + 4/x)/(1 + 1/x)
Saat x mendekati tak hingga, 4/x dan 1/x mendekati 0.
= (-6 + 0)/(1 + 0) = -6
Jadi, nilai limitnya adalah e^(-6).
Jawaban:
e^-6