Tentukan luas permukaan benda putar dari fungsi

Luas permukaan benda putar adalah 64 * pi * sqrt(5).

Pembahasan

Untuk menentukan luas permukaan benda putar dari fungsi x+2y+2=0 dengan batas y=1 dan y=5 jika diputar mengelilingi sumbu Y, kita menggunakan rumus luas permukaan benda putar mengelilingi sumbu Y:

Luas Permukaan = integral dari 2 * pi * x * sqrt(1 + (dx/dy)^2) dy

Pertama, kita ubah fungsi menjadi x dalam bentuk y:
x = -2y - 2

Selanjutnya, kita cari turunan x terhadap y (dx/dy):
dx/dy = -2

Kemudian, kita hitung (dx/dy)^2:
(dx/dy)^2 = (-2)^2 = 4

Sekarang, kita masukkan ke dalam rumus luas permukaan:
Luas Permukaan = integral dari 2 * pi * (-2y - 2) * sqrt(1 + 4) dy
Luas Permukaan = integral dari 2 * pi * (-2y - 2) * sqrt(5) dy
Luas Permukaan = 2 * pi * sqrt(5) * integral dari (-2y - 2) dy

Integralkan terhadap y:
integral dari (-2y - 2) dy = -y^2 - 2y

Sekarang, kita terapkan batas integrasi dari y=1 sampai y=5:
Luas Permukaan = 2 * pi * sqrt(5) * [-y^2 - 2y] dari 1 sampai 5
Luas Permukaan = 2 * pi * sqrt(5) * [(-5^2 - 2*5) - (-1^2 - 2*1)]
Luas Permukaan = 2 * pi * sqrt(5) * [(-25 - 10) - (-1 - 2)]
Luas Permukaan = 2 * pi * sqrt(5) * [-35 - (-3)]
Luas Permukaan = 2 * pi * sqrt(5) * [-35 + 3]
Luas Permukaan = 2 * pi * sqrt(5) * [-32]
Luas Permukaan = -64 * pi * sqrt(5)

Karena luas permukaan tidak bisa negatif, kita ambil nilai absolutnya.
Luas Permukaan = 64 * pi * sqrt(5)