Tentukan nilai a dan b agar x^4-7x^3+ax^2+bx-16 mempunyai

a=12, b=4

Pembahasan

Agar x^4 - 7x^3 + ax^2 + bx - 16 mempunyai faktor (x-2)^2, artinya (x-2) adalah faktor berulang sebanyak dua kali. Ini berarti bahwa x=2 adalah akar dari polinomial tersebut, dan juga merupakan akar dari turunan pertama polinomial tersebut.

Misalkan P(x) = x^4 - 7x^3 + ax^2 + bx - 16.
Karena (x-2) adalah faktor, maka P(2) = 0.

P(2) = (2)^4 - 7(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 16 = 0
16 - 7(8) + 4a + 2b - 16 = 0
16 - 56 + 4a + 2b - 16 = 0
-56 + 4a + 2b = 0
4a + 2b = 56
Dibagi 2 menjadi: 2a + b = 28 ... (Persamaan 1)

Sekarang, kita cari turunan pertama dari P(x), yaitu P'(x).
P'(x) = 4x^3 - 21x^2 + 2ax + b
Karena (x-2)^2 adalah faktor, maka x=2 juga merupakan akar dari P'(x), sehingga P'(2) = 0.

P'(2) = 4(2)^3 - 21(2)^2 + 2a(2) + b = 0
4(8) - 21(4) + 4a + b = 0
32 - 84 + 4a + b = 0
-52 + 4a + b = 0
4a + b = 52 ... (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) 2a + b = 28
2) 4a + b = 52

Kita bisa kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(4a + b) - (2a + b) = 52 - 28
4a + b - 2a - b = 24
2a = 24
a = 12

Substitusikan nilai a = 12 ke Persamaan 1:
2(12) + b = 28
24 + b = 28
b = 28 - 24
b = 4

Jadi, nilai a = 12 dan b = 4.