Sebuah pabrik kertas dengan bahan baku kayu (x) memproduksi

Komposisi fungsi produksi kertas dan penentuan bahan baku yang diperlukan.

Pembahasan

a. Untuk menentukan banyaknya kertas yang dihasilkan sebagai fungsi dalam x, kita perlu mengkomposisikan fungsi g(m) dengan fungsi f(x). Fungsi f(x) = x^2 - 2x + 2 menghasilkan bahan kertas setengah jadi (m), dan fungsi g(m) = 5m - 5 menghasilkan kertas jadi dari bahan setengah jadi (m). Maka, komposisi fungsinya adalah g(f(x)).

g(f(x)) = 5(f(x)) - 5

g(f(x)) = 5(x^2 - 2x + 2) - 5

g(f(x)) = 5x^2 - 10x + 10 - 5

g(f(x)) = 5x^2 - 10x + 5

Jadi, banyaknya kertas yang dihasilkan sebagai fungsi dalam x adalah p(x) = 5x^2 - 10x + 5.

b. Untuk menentukan banyak kertas yang dihasilkan apabila bahan dasar kayu yang tersedia sebesar 4 ton, kita substitusikan x = 4 ke dalam fungsi p(x) = 5x^2 - 10x + 5.

p(4) = 5(4)^2 - 10(4) + 5

p(4) = 5(16) - 40 + 5

p(4) = 80 - 40 + 5

p(4) = 45

Jadi, jika bahan dasar kayu yang tersedia sebesar 4 ton, maka banyak kertas yang dihasilkan adalah 45 ton.

c. Jika pabrik menerima pesanan sebanyak 5 ton kertas, maka kita perlu mencari nilai x yang menghasilkan p(x) = 5. Kita selesaikan persamaan 5x^2 - 10x + 5 = 5.

5x^2 - 10x + 5 = 5

5x^2 - 10x = 0

5x(x - 2) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai x, yaitu x = 0 atau x = 2. Karena pabrik hanya akan memproduksi apabila tersedia minimal satu ton bahan baku kayu (x >= 1), maka nilai x yang memenuhi adalah x = 2.

Jadi, jika pabrik menerima pesanan sebanyak 5 ton kertas, maka bahan baku yang diperlukan adalah 2 ton.

d. Misalkan fungsi yang ditemukan pada (a) adalah p(x) = 5x^2 - 10x + 5. Untuk menentukan invers dari fungsi p(x), kita ubah p(x) menjadi y = 5x^2 - 10x + 5 dan kemudian tukar x dan y, lalu selesaikan untuk y.

y = 5x^2 - 10x + 5

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini menjadi y = 5(x^2 - 2x + 1) = 5(x-1)^2.

x = 5(y-1)^2

x/5 = (y-1)^2

sqrt(x/5) = y - 1

y = 1 + sqrt(x/5)

Jadi, invers dari fungsi p(x) adalah p^-1(x) = 1 + sqrt(x/5). 

Arti dari fungsi invers ini adalah jika kita mengetahui jumlah kertas yang dihasilkan (x pada fungsi invers, yang tadinya adalah hasil dari p(x)), maka kita dapat menentukan berapa banyak bahan baku kayu (y pada fungsi invers, yang tadinya adalah input x pada fungsi p(x)) yang diperlukan untuk memproduksi jumlah kertas tersebut. Dalam konteks ini, jika pabrik ingin memproduksi 'x' ton kertas, maka bahan baku kayu yang dibutuhkan adalah 1 + sqrt(x/5) ton.