Tentukan nilai a dan b jika (x^4+ax^3+bx^2-14x^2+28x-15)

a = -4, b = 4

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a dan b, kita dapat menggunakan konsep pembagian polinomial. Jika polinomial (x^4+ax^3+bx^2-14x^2+28x-15) habis dibagi oleh (x^2-2x+1), maka sisa pembagiannya adalah nol. Polinomial (x^2-2x+1) dapat difaktorkan menjadi (x-1)^2. Ini berarti x=1 adalah akar ganda dari polinomial tersebut. Dengan mensubstitusikan x=1 ke dalam polinomial dan turunannya, lalu menyamakannya dengan nol, kita dapat menemukan nilai a dan b.

Misalkan P(x) = x^4+ax^3+bx^2-14x^2+28x-15 = x^4+ax^3+(b-14)x^2+28x-15.
Karena P(x) habis dibagi (x-1)^2, maka P(1)=0 dan P'(1)=0.

P(1) = 1^4+a(1)^3+(b-14)(1)^2+28(1)-15 = 1+a+b-14+28-15 = a+b
Karena P(1)=0, maka a+b = 0, atau b = -a. (Persamaan 1)

P'(x) = 4x^3+3ax^2+2(b-14)x+28
P'(1) = 4(1)^3+3a(1)^2+2(b-14)(1)+28 = 4+3a+2b-28+28 = 3a+2b+4
Karena P'(1)=0, maka 3a+2b+4 = 0. (Persamaan 2)

Substitusikan Persamaan 1 ke Persamaan 2:
3a+2(-a)+4 = 0
3a-2a+4 = 0
a+4 = 0
a = -4

Kemudian, substitusikan nilai a ke Persamaan 1:
b = -a = -(-4) = 4

Jadi, nilai a = -4 dan b = 4.