Diketahui kurva f(x)=4 x-(x-3)^2 memotong sumbu X di titik

Perpotongan garis singgung kurva yang melalui titik P dan Q adalah di titik (5, 32).

Pembahasan

Kurva f(x) = 4x - (x-3)^2 memotong sumbu X ketika f(x) = 0. Maka, 4x - (x-3)^2 = 0. Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk menemukan titik potong P dan Q.   4x - (x^2 - 6x + 9) = 0   4x - x^2 + 6x - 9 = 0   -x^2 + 10x - 9 = 0   x^2 - 10x + 9 = 0   (x-1)(x-9) = 0. Jadi, titik potongnya adalah x=1 dan x=9.   Sekarang kita perlu mencari persamaan garis singgung pada titik P (x=1) dan Q (x=9). Untuk mencari gradien garis singgung, kita perlu mencari turunan pertama dari f(x). f'(x) = d/dx (4x - (x-3)^2) = 4 - 2(x-3)(1) = 4 - 2x + 6 = 10 - 2x.   Pada titik P (x=1), gradiennya adalah f'(1) = 10 - 2(1) = 8. Persamaan garis singgung di P adalah y - f(1) = m(x-1). f(1) = 4(1) - (1-3)^2 = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0. Jadi, persamaan garis singgung di P adalah y - 0 = 8(x-1) => y = 8x - 8.   Pada titik Q (x=9), gradiennya adalah f'(9) = 10 - 2(9) = 10 - 18 = -8. Persamaan garis singgung di Q adalah y - f(9) = m(x-9). f(9) = 4(9) - (9-3)^2 = 36 - (6)^2 = 36 - 36 = 0. Jadi, persamaan garis singgung di Q adalah y - 0 = -8(x-9) => y = -8x + 72.   Selanjutnya, kita perlu menentukan perpotongan kedua garis singgung tersebut. Kita setarakan kedua persamaan:   8x - 8 = -8x + 72   16x = 80   x = 5.   Kemudian, substitusikan nilai x ke salah satu persamaan:   y = 8(5) - 8 = 40 - 8 = 32.   Jadi, perpotongan garis singgung kurva yang melalui titik P dan Q adalah di titik (5, 32).