Tentukan nilai dari integral 0 pi/2 (sin x+cos x)^2 dx

π/2 + 1

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari integral 0 sampai π/2 dari (sin x + cos x)² dx, kita perlu mengevaluasi integral tersebut.

Langkah 1: Jabarkan bentuk (sin x + cos x)².
(sin x + cos x)² = sin²x + 2 sin x cos x + cos²x

Kita tahu bahwa sin²x + cos²x = 1, dan 2 sin x cos x = sin 2x.
Maka, (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x.

Langkah 2: Integralkan bentuk yang telah dijabarkan.
∫(1 + sin 2x) dx = ∫1 dx + ∫sin 2x dx

Integral dari 1 dx adalah x.
Integral dari sin 2x dx adalah -½ cos 2x.

Jadi, hasil integral tak tentu dari (sin x + cos x)² adalah x - ½ cos 2x + C.

Langkah 3: Terapkan batas integral dari 0 sampai π/2.
[x - ½ cos 2x] dari 0 sampai π/2

Substitusikan batas atas (π/2):
(π/2) - ½ cos (2 * π/2) = π/2 - ½ cos(π)
= π/2 - ½ (-1)
= π/2 + ½

Substitusikan batas bawah (0):
(0) - ½ cos (2 * 0) = 0 - ½ cos(0)
= 0 - ½ (1)
= -½

Langkah 4: Kurangkan hasil batas atas dengan hasil batas bawah.
(π/2 + ½) - (-½)
= π/2 + ½ + ½
= π/2 + 1

Jadi, nilai dari integral 0 sampai π/2 dari (sin x + cos x)² dx adalah π/2 + 1.