Tentukan nilai dari limit x -> 0

112

Pembahasan

Kita akan menentukan nilai dari limit x -> 0 ((cos(5x)-cos(9x))/(1-akar(cos x))). Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, sehingga kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar. Menggunakan aturan L'Hopital: Turunan dari pembilang adalah -5sin(5x) - (-9sin(9x)) = 9sin(9x) - 5sin(5x). Turunan dari penyebut adalah -1/(2*akar(cos x)) * (-sin x) = sin x / (2*akar(cos x)). Maka limitnya menjadi limit x -> 0 (9sin(9x) - 5sin(5x)) / (sin x / (2*akar(cos x))). Jika kita substitusikan x=0, kita dapatkan (9*0 - 5*0) / (0 / (2*1)) = 0/0, yang masih tak tentu. Kita terapkan L'Hopital lagi. Turunan pembilang: 81cos(9x) - 25cos(5x). Turunan penyebut: (cos x * 2*akar(cos x) - sin x * (sin x / akar(cos x))) / (4 cos x) = (2 cos^2 x - sin^2 x) / (4 cos x * akar(cos x)). Limit menjadi limit x -> 0 (81cos(9x) - 25cos(5x)) / ((2 cos^2 x - sin^2 x) / (4 cos x * akar(cos x))). Substitusikan x=0: (81*1 - 25*1) / ((2*1 - 0) / (4*1*1)) = (81 - 25) / (2/4) = 56 / (1/2) = 112. Alternatif lain menggunakan identitas trigonometri dan limit yang diketahui: limit x->0 (sin(ax)/ax) = 1 dan limit x->0 (1-cos(ax))/ax^2 = a^2/2. Pembilang dapat ditulis sebagai -2sin(7x)sin(2x). Penyebut dapat dikalikan sekawan menjadi (1-cos x)/(1+akar cos x). Kita dapatkan limit x->0 (-2sin(7x)sin(2x))/(1-cos x) * (1+akar cos x). Gunakan limit sin(ax)/ax = 1 dan (1-cos(ax))/ax^2 = a^2/2. Limit = limit x->0 (-2 * (7x) * (2x) * (1+1)) / (x^2/2) = limit x->0 (-28x^2 * 2) / (x^2/2) = limit x->0 (-56x^2) / (x^2/2) = -56 * 2 = -112. Ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita periksa lagi menggunakan manipulasi aljabar dan limit dasar. Limit x->0 ((cos(5x)-cos(9x))/(1-akar(cos x))). Kita gunakan rumus cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2). Maka pembilang = -2 sin(7x) sin(-2x) = 2 sin(7x) sin(2x). Penyebut = 1 - sqrt(cos x). Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat pembilang dan konjugat penyebut. Pembilang = 2 sin(7x) sin(2x). Penyebut = (1 - cos x) / (1 + sqrt(cos x)). Limit = lim x->0 [2 sin(7x) sin(2x) / (1 - cos x)] * [1 / (1 + sqrt(cos x))]. Kita tahu lim x->0 sin(ax)/ax = 1 dan lim x->0 (1-cos x)/x^2 = 1/2. Maka lim x->0 sin(7x)/7x = 1 dan lim x->0 sin(2x)/2x = 1. Limit = lim x->0 [2 * (7x) * (2x) / x^2 * (1/2)] * [1 / (1 + sqrt(1))] = [2 * 7 * 2 / 2] * [1 / 2] = 14 * 1/2 = 7. Ada kesalahan lagi. Mari gunakan pendekatan yang lebih standar. Limit x->0 ((cos(5x)-cos(9x))/(1-akar(cos x))) = Limit x->0 ((cos(5x)-1) - (cos(9x)-1))/(1-akar(cos x))). Gunakan lim x->0 (cos(ax)-1)/x^2 = -a^2/2. Limit = Limit x->0 [(-25x^2/2) - (-81x^2/2)] / ((1-cos x)/(1+sqrt(cos x))) = Limit x->0 [(56x^2/2)] / [x^2/2 * (1/(1+sqrt(cos x)))] = Limit x->0 [28x^2] / [x^2/2 * (1/(1+1))] = Limit x->0 28x^2 / (x^2/4) = 28 * 4 = 112. Jadi, nilai limitnya adalah 112.