Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, sumbu

Titik pusat: (4,-3), Fokus: (4±√34, -3), Puncak: (9,-3) & (-1,-3), Sumbu simetri: y=-3, Asimtot: y+3 = ±(3/5)(x-4).

Pembahasan

Untuk persamaan hiperbola ((x-4)^2)/(25) - ((y+3)^2)/9 = 1:

1.  **Titik Pusat:**
    Bentuk umum hiperbola horizontal adalah ((x-h)^2)/a^2 - ((y-k)^2)/b^2 = 1.
    Dari persamaan, kita dapat melihat bahwa h = 4 dan k = -3.
    Jadi, titik pusatnya adalah (h, k) = (4, -3).

2.  **Titik Fokus:**
    Untuk hiperbola horizontal, c^2 = a^2 + b^2.
    Di sini, a^2 = 25 (jadi a = 5) dan b^2 = 9 (jadi b = 3).
    c^2 = 25 + 9 = 34
    c = √34
    Titik fokusnya adalah (h ± c, k) = (4 ± √34, -3).
    Fokus 1: (4 + √34, -3)
    Fokus 2: (4 - √34, -3)

3.  **Titik Puncak (Vertices):**
    Titik puncak terletak pada jarak 'a' dari pusat di sepanjang sumbu melintang.
    Titik puncaknya adalah (h ± a, k) = (4 ± 5, -3).
    Puncak 1: (4 + 5, -3) = (9, -3)
    Puncak 2: (4 - 5, -3) = (-1, -3)

4.  **Sumbu Simetri:**
    Sumbu simetri adalah garis yang melalui pusat dan titik fokus.
    Untuk hiperbola horizontal, sumbu simetri adalah garis horizontal y = k.
    Jadi, sumbu simetrinya adalah y = -3.

5.  **Persamaan Asimtot:**
    Persamaan asimtot untuk hiperbola horizontal adalah y - k = ±(b/a)(x - h).
    y - (-3) = ±(3/5)(x - 4)
    y + 3 = ±(3/5)(x - 4)
    Dua persamaan asimtot:
    a) y + 3 = (3/5)(x - 4)  => y = (3/5)x - 12/5 - 3 => y = (3/5)x - 27/5
    b) y + 3 = -(3/5)(x - 4) => y = -(3/5)x + 12/5 - 3 => y = -(3/5)x - 3/5

6.  **Sketsa:**
    Sketsa hiperbola akan memiliki titik pusat di (4, -3).
    Titik puncak di (9, -3) dan (-1, -3).
    Sumbu melintang adalah garis y = -3.
    Sumbu tegak adalah garis x = 4.
    Gambarkan persegi panjang pusat dengan sisi sejajar sumbu koordinat yang melewati titik (4±a, -3±b) yaitu (4±5, -3±3), yaitu di (9,-3), (-1,-3), (4,0), (4,-6).
    Garis asimtot adalah diagonal dari persegi panjang ini yang melewati titik pusat.
    Gambar kedua cabang hiperbola yang membuka ke kiri dan ke kanan, mendekati garis asimtot tanpa menyentuhnya, dan melewati titik puncak.