Tentukan nilai k sehingga garis y=-x+k menyinggung elips

k = ±5

Pembahasan

Untuk menentukan nilai k agar garis y = -x + k menyinggung elips x^2 + 4y^2 = 20, kita perlu mensubstitusikan persamaan garis ke dalam persamaan elips.

y = -x + k
Substitusikan ke dalam x^2 + 4y^2 = 20:
x^2 + 4(-x + k)^2 = 20
x^2 + 4(x^2 - 2kx + k^2) = 20
x^2 + 4x^2 - 8kx + 4k^2 = 20
5x^2 - 8kx + (4k^2 - 20) = 0

Agar garis menyinggung elips, persamaan kuadrat tersebut harus memiliki satu solusi unik (diskriminan = 0).
Diskriminan (D) = b^2 - 4ac
Di sini, a = 5, b = -8k, c = 4k^2 - 20.

D = (-8k)^2 - 4(5)(4k^2 - 20)
D = 64k^2 - 20(4k^2 - 20)
D = 64k^2 - 80k^2 + 400
D = -16k^2 + 400

Setel D = 0:
-16k^2 + 400 = 0
16k^2 = 400
k^2 = 400 / 16
k^2 = 25
k = ±5

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah 5 atau -5.