Tentukan nilai lim x->0 (f(a-x)-f(a))/x jika:f(x)=x^4 dan

-4

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan nilai dari limit berikut:
$\lim_{x \to 0} \frac{f(a-x)-f(a)}{x}$
dengan fungsi $f(x) = x^4$ dan $a=1$.

Ini adalah definisi turunan dari fungsi f(x) pada titik x=a, namun dengan sedikit modifikasi pada argumen fungsi di pembilang. Definisi turunan $f'(a)$ adalah $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Mari kita substitusikan $f(x) = x^4$ dan $a=1$ ke dalam ekspresi limit:
$f(a-x) = f(1-x) = (1-x)^4$
$f(a) = f(1) = (1)^4 = 1$

Maka, ekspresi limit menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1-x)^4 - 1}{x}$

Kita bisa menggunakan ekspansi binomial untuk $(1-x)^4$:
$(1-x)^4 = \binom{4}{0}1^4(-x)^0 + \binom{4}{1}1^3(-x)^1 + \binom{4}{2}1^2(-x)^2 + \binom{4}{3}1^1(-x)^3 + \binom{4}{4}1^0(-x)^4$
$(1-x)^4 = 1(1)(1) + 4(1)(-x) + 6(1)(x^2) + 4(1)(-x^3) + 1(1)(x^4)$
$(1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4) - 1}{x}$
$\lim_{x \to 0} \frac{-4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4}{x}$

Bagi setiap suku di pembilang dengan x:
$\lim_{x \to 0} (-4 + 6x - 4x^2 + x^3)$

Sekarang, substitusikan $x=0$ ke dalam ekspresi tersebut:
$-4 + 6(0) - 4(0)^2 + (0)^3 = -4$

Alternatif lain, kita bisa melihat bahwa ekspresi tersebut adalah definisi turunan dari fungsi $g(x) = f(a-x)$ terhadap x, dievaluasi pada x=0. Dengan substitusi $u = a-x$, ketika $x 	o 0$, maka $u 	o a$. Perubahan x adalah $dx = -du$. Maka limitnya menjadi $\lim_{u \to a} \frac{f(u) - f(a)}{-du} = -\lim_{u \to a} \frac{f(u) - f(a)}{du} = -f'(a)$.
Dalam kasus ini, $f(x) = x^4$, maka $f'(x) = 4x^3$.
Sehingga, $f'(a) = f'(1) = 4(1)^3 = 4$.
Nilai limitnya adalah $-f'(a) = -4$.

Jawaban: -4