Tentukan nilai limit berikut. limit x mendekati 0 (sin

Nilai limitnya adalah 8/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari $(sin 5x + sin 3x) / 3x cos x$ ketika x mendekati 0, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan manipulasi aljabar:
Limit $x \to 0$ $(sin 5x + sin 3x) / 3x cos x$
Kita bisa memisahkan menjadi:
Limit $x \to 0$ $(sin 5x / 3x) + (sin 3x / 3x) * (1 / cos x)$

Menggunakan sifat limit $\lim_{x \to 0} sin(ax) / bx = a/b$:
$(5/3) + (3/3) * (1 / cos 0)$
$(5/3) + 1 * (1 / 1)$
$5/3 + 1$
$5/3 + 3/3 = 8/3$

Jadi, nilai limitnya adalah $8/3$.
Menggunakan Aturan L'Hopital (jika bentuknya 0/0):
Turunan dari sin 5x adalah 5 cos 5x
Turunan dari sin 3x adalah 3 cos 3x
Turunan dari 3x cos x adalah $3 cos x - 3x sin x$

Maka limitnya menjadi:
Limit $x \to 0$ $(5 cos 5x + 3 cos 3x) / (3 cos x - 3x sin x)$
$(5 cos 0 + 3 cos 0) / (3 cos 0 - 3*0*sin 0)$
$(5*1 + 3*1) / (3*1 - 0)$
$(5 + 3) / 3$
$8/3$

Jawaban:
Nilai limit dari $(sin 5x + sin 3x) / 3x cos x$ ketika x mendekati 0 adalah $8/3$.