Tentukan nilai a, b, c , dan d dari persamaan berikut ( 2

a=3.5, b=-11, c=-3, d=5.5

Pembahasan

Diberikan persamaan matriks:
( 2a+3b+4 
  3c-3  2d-1 ) = ( 2  1 
                 -4  2 ) ( 4  -3 
                                2  -1 )

Langkah pertama adalah melakukan perkalian matriks di sisi kanan persamaan.
Misalkan matriks A = ( 2  1 
                   -4  2 ) dan matriks B = ( 4  -3 
                                                    2  -1 ).

Perkalian matriks C = A * B dihitung sebagai berikut:
C[i,j] = Σ (A[i,k] * B[k,j])

Elemen C[1,1] = (2 * 4) + (1 * 2) = 8 + 2 = 10
Elemen C[1,2] = (2 * -3) + (1 * -1) = -6 - 1 = -7
Elemen C[2,1] = (-4 * 4) + (2 * 2) = -16 + 4 = -12
Elemen C[2,2] = (-4 * -3) + (2 * -1) = 12 - 2 = 10

Jadi, hasil perkalian matriksnya adalah:
C = ( 10  -7 
      -12  10 )

Sekarang, kita samakan hasil perkalian matriks ini dengan matriks di sisi kiri persamaan:
( 2a+3b+4 
  3c-3  2d-1 ) = ( 10  -7 
                 -12  10 )

Dengan menyamakan elemen-elemen yang bersesuaian, kita mendapatkan sistem persamaan linear:

Untuk elemen baris 1, kolom 1:
2a + 3b + 4 = 10
2a + 3b = 10 - 4
2a + 3b = 6  (Persamaan 1)

Untuk elemen baris 1, kolom 2:
Di sisi kiri, hanya ada satu elemen di baris pertama, yaitu '2a+3b+4'. Namun, format matriks di sisi kiri tampaknya salah ketik atau tidak konsisten. Seharusnya matriks di kiri juga berordo 2x2 jika disamakan dengan hasil perkalian di kanan.

Asumsikan format matriks di kiri seharusnya:
( 2a+3b   ? 
  3c-3  2d-1 )
Atau
( ?  ? 
  ?  ? )

Jika kita mengikuti format yang diberikan dan mengasumsikan bahwa '2a+3b+4' adalah satu elemen, ini tidak bisa disamakan dengan matriks 2x2. Namun, jika kita mengasumsikan ada elemen lain di baris pertama kolom kedua, misalnya 'x', sehingga matriks kiri adalah:
( 2a+3b+4   x 
  3c-3      2d-1 )

Atau, jika kita menganggap bahwa '2a+3b+4' merujuk pada beberapa kombinasi yang menghasilkan elemen matriks, ini juga tidak jelas.

Mari kita buat asumsi yang paling mungkin: soal ini bermaksud membuat elemen matriks di kiri setara dengan elemen matriks hasil perkalian di kanan, meskipun penulisannya kurang tepat.

Jika kita asumsikan elemen baris 1, kolom 1 di kiri adalah '2a+3b' dan ada elemen lain (misalnya 4) yang terpisah atau keliru penempatannya, atau jika '2a+3b+4' adalah nilai tunggal yang tidak lengkap informasinya.

Mari kita asumsikan penulisan soal yang dimaksud adalah:

Matriks Kiri = ( X  Y 
               Z  W )

Dan hasil perkalian matriks kanan adalah:
( 10  -7 
  -12  10 )

Jika kita mengabaikan '+4' pada elemen pertama di kiri dan menganggap elemen tersebut adalah '2a+3b', maka:
2a + 3b = 10 (dari elemen C[1,1])

Jika kita mengabaikan elemen di baris 1, kolom 2 di kiri (karena tidak ada informasi), kita tidak bisa menemukan nilai untuk itu.

Sekarang kita lihat elemen baris 2.

Untuk elemen baris 2, kolom 1:
3c - 3 = -12
3c = -12 + 3
3c = -9
c = -9 / 3
c = -3

Untuk elemen baris 2, kolom 2:
2d - 1 = 10
2d = 10 + 1
2d = 11
d = 11 / 2
d = 5.5

Kita sudah menemukan nilai c dan d. Namun, untuk a dan b, kita hanya punya satu persamaan (2a + 3b = 10) dari elemen C[1,1] jika kita mengabaikan '+4'. Jika '+4' memang bagian dari elemen tersebut, maka:
2a + 3b + 4 = 10
2a + 3b = 6

Tanpa informasi tambahan untuk elemen baris 1, kolom 2 di matriks kiri, kita tidak dapat menemukan nilai a dan b secara unik karena hanya ada satu persamaan linear dengan dua variabel.

Namun, jika soal ini memiliki format yang benar-benar berbeda dimana setiap angka di kolom kiri mewakili sebuah variabel atau bagian dari variabel, misalnya:

(2a   3b   4
 3c   -3   2d
 -1   ?    ?)

Ini juga tidak sesuai dengan format matriks 2x2.

Kemungkinan besar, ada kesalahan pengetikan pada matriks di sisi kiri. Jika kita berasumsi bahwa matriks di kiri seharusnya memiliki format yang sama dengan hasil perkaliannya (2x2) dan elemen-elemennya adalah:
Matriks Kiri = ( E11  E12 
                 E21  E22 )

Dan kita diberikan:
E11 = 2a+3b+4
E21 = 3c-3
E22 = 2d-1

Dan hasil perkalian matriks kanan adalah:
( 10  -7 
  -12  10 )

Maka:

Dari E21 = -12:
3c - 3 = -12
3c = -9
c = -3

Dari E22 = 10:
2d - 1 = 10
2d = 11
d = 5.5

Sekarang, untuk E11 = 10:
2a + 3b + 4 = 10
2a + 3b = 6

Kita masih memerlukan E12 untuk menemukan a dan b secara unik. Jika kita berasumsi bahwa '+4' pada E11 adalah elemen terpisah atau kesalahan penulisan, dan seharusnya ada elemen lain di E12.

Mari kita coba interpretasi lain: Mungkin angka di atas dan di bawah garis vertikal adalah elemen matriks yang berbeda.

Misalkan matriks kiri adalah:
( (2a+3b)  (4) 
  (3c-3)  (2d-1) )

Ini juga tidak sesuai dengan format yang diberikan.

Jika kita mengasumsikan bahwa matriks di kiri memiliki elemen-elemen berikut:
Baris 1 Kolom 1: (2a+3b+4)
Baris 2 Kolom 1: (3c-3)
Baris 2 Kolom 2: (2d-1)

Dan tidak ada elemen di Baris 1 Kolom 2 yang diberikan, maka kita hanya bisa menyelesaikan untuk c dan d, serta mendapatkan satu persamaan untuk a dan b.

Untuk menyelesaikan a dan b, kita perlu informasi mengenai elemen matriks di baris 1 kolom 2.

Namun, jika soal ini adalah soal pilihan ganda atau ada konteks tambahan, mungkin ada cara lain untuk menyelesaikannya. Berdasarkan informasi yang diberikan, kita hanya dapat menemukan:
c = -3
d = 5.5
dan persamaan 2a + 3b = 6.

Jika kita harus memberikan nilai untuk a, b, c, dan d, maka ada informasi yang kurang.

Asumsi paling logis dari penulisan soal yang umum adalah bahwa matriks di kiri adalah:
( 2a+3b   4 
  3c-3   2d-1 )

Jika ini benar, maka:
2a+3b = 10 (dari elemen hasil kali C[1,1])
4 = -7 (dari elemen hasil kali C[1,2]) -> ini kontradiksi.

Jadi, asumsi ini salah.

Mari kita kembali ke asumsi awal bahwa elemen-elemen di kiri adalah:
E11 = 2a+3b+4
E21 = 3c-3
E22 = 2d-1

Dan jika kita harus memberikan nilai a, b, c, d, maka mungkin ada typo di soal dan seharusnya hanya ada satu variabel di setiap elemen, atau ada persamaan lain.

Jika kita mengasumsikan bahwa ada elemen di baris 1 kolom 2 yang sama dengan hasil kali di kanan, yaitu -7, maka:

Jika ada elemen lain di matriks kiri yang tidak tertulis, misalnya X:
( 2a+3b+4   X 
  3c-3      2d-1 )

Dan kita samakan dengan:
( 10  -7 
  -12  10 )

Maka:
1. 2a + 3b + 4 = 10  => 2a + 3b = 6
2. X = -7 (Tidak diketahui X)
3. 3c - 3 = -12 => 3c = -9 => c = -3
4. 2d - 1 = 10 => 2d = 11 => d = 5.5

Karena tidak ada informasi untuk X, kita tidak bisa menyelesaikan a dan b.

Namun, jika kita melihat format soal yang lain, terkadang penulisan seperti ini menyiratkan beberapa persamaan terpisah.

Kemungkinan lain dari penulisan soal:
Menyatakan 4 entri matriks secara terpisah:
Entri 1: 2a+3b+4
Entri 2: 3c-3
Entri 3: 2d-1

Dan hasil perkaliannya:
Entri hasil 1: 10
Entri hasil 2: -7
Entri hasil 3: -12
Entri hasil 4: 10

Jika kita asumsikan entri-entri di kiri merujuk ke entri-entri di kanan secara berurutan atau sesuai posisi:

Posisi (1,1) kiri = Posisi (1,1) kanan
2a+3b+4 = 10
2a+3b = 6

Posisi (2,1) kiri = Posisi (2,1) kanan
3c-3 = -12
3c = -9
c = -3

Posisi (2,2) kiri = Posisi (2,2) kanan
2d-1 = 10
2d = 11
d = 5.5

Kita masih membutuhkan persamaan untuk elemen (1,2) di matriks kiri. Jika kita asumsikan elemen tersebut adalah suatu konstanta atau variabel lain yang tidak disebutkan, atau jika soal ini memang tidak lengkap.

Jika kita harus memberikan jawaban, dan asumsi paling masuk akal adalah bahwa ada entri yang hilang di matriks kiri, atau penulisan matriksnya tidak standar.

Jika kita harus menebak penulisan yang benar, dan jika 4 adalah elemen terpisah, dan ada elemen lain di posisi (1,2):
( 2a+3b   4 
  3c-3   2d-1 )

Ini juga tidak cocok karena 4 != -7.

Bagaimana jika soalnya adalah:
(
 2a+3b 
 3c-3 
) dan
(
 4 
 2 
)

dan

(
 4 
 2 
)

Dan

(
 2a+3b+4 
 3c-3 
)

Ini terlalu spekulatif.

Mari kita fokus pada apa yang bisa dihitung dengan pasti berdasarkan penyamaan elemen matriks:
c = -3
d = 5.5
dan 2a + 3b = 6 (dengan mengabaikan '+4' pada elemen (1,1) jika itu bukan bagian dari persamaan utama, atau 2a+3b=6 jika '+4' memang bagian dari elemen (1,1)).

Jika kita harus memberikan nilai a dan b, kita memerlukan satu persamaan lagi. Mungkin ada kesalahan ketik pada soal, dan seharusnya matriks di kiri adalah:

( 2a+3b 
  3c-3 
) , ( 4 
       2 )

Ini juga tidak masuk akal.

Mari kita gunakan asumsi yang paling umum dalam soal matriks, yaitu elemen-elemen yang tertulis di satu posisi harus sama dengan elemen di posisi yang sama setelah operasi.

Elemen (1,1) kiri: 2a+3b+4. Elemen (1,1) kanan: 10. Maka 2a+3b+4 = 10 => 2a+3b = 6.
Elemen (2,1) kiri: 3c-3. Elemen (2,1) kanan: -12. Maka 3c-3 = -12 => 3c = -9 => c = -3.
Elemen (2,2) kiri: 2d-1. Elemen (2,2) kanan: 10. Maka 2d-1 = 10 => 2d = 11 => d = 5.5.

Karena tidak ada elemen di posisi (1,2) di matriks kiri yang tertulis, kita tidak bisa menyelesaikannya untuk a dan b.

Namun, jika kita menganggap bahwa soal ini menginginkan kita untuk menyelesaikan apa yang bisa diselesaikan:
Nilai c = -3
Nilai d = 5.5
Dan persamaan untuk a dan b adalah 2a + 3b = 6.

Jika kita diminta untuk menemukan nilai a, b, c, d, dan ada lebih dari satu solusi yang mungkin untuk a dan b, maka soal ini tidak memiliki solusi tunggal untuk a dan b.

Asumsikan bahwa soal ini memberikan informasi yang cukup dan ada interpretasi yang benar:

Mungkin penulisan matriks di kiri adalah:

( 2a+3b 
  3c-3 
) dan ada bagian lain yang hilang.

Jika kita kembali ke soal asli:
(
 2 a+3  b+4 
 3 c-3  2 d-1
)
Ini bisa diinterpretasikan sebagai:

Matriks Kiri:
Baris 1 Kolom 1 = 2a + 3
Baris 1 Kolom 2 = b + 4
Baris 2 Kolom 1 = 3c - 3
Baris 2 Kolom 2 = 2d - 1

Dan hasil perkalian matriks kanan:
( 10  -7 
  -12  10 )

Menyamakan elemen:
1. 2a + 3 = 10 => 2a = 7 => a = 3.5
2. b + 4 = -7 => b = -11
3. 3c - 3 = -12 => 3c = -9 => c = -3
4. 2d - 1 = 10 => 2d = 11 => d = 5.5

Ini adalah interpretasi yang paling masuk akal berdasarkan penulisan soal yang menyertakan spasi di antara variabel dan angka.

Jadi, nilainya adalah:
a = 3.5
b = -11
c = -3
d = 5.5