Perhatikan Pola bilangan berikut: 5, 8, 13, 20, 29, ...

2504

Pembahasan

Untuk menemukan suku ke-50 dari barisan bilangan 5, 8, 13, 20, 29, ..., kita perlu mengidentifikasi pola barisan tersebut. 
Perbedaan antara suku-suku berurutan adalah sebagai berikut:
8 - 5 = 3
13 - 8 = 5
20 - 13 = 7
29 - 20 = 9

Pola perbedaan adalah barisan bilangan ganjil: 3, 5, 7, 9, ... Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama $a = 3$ dan beda $b = 2$. Suku ke-n dari barisan perbedaan ini adalah $U_n = a + (n-1)b = 3 + (n-1)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1$.

Sekarang, kita dapat menemukan rumus suku ke-n dari barisan asli. Perhatikan bahwa suku ke-n dari barisan asli adalah jumlah dari n suku pertama dari barisan perbedaan ditambah suku pertama dari barisan asli. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan mengamati bahwa suku ke-n dari barisan asli, $S_n$, dapat dinyatakan sebagai:
$S_n = S_{n-1} + (2(n-1)+1)$
$S_n = S_{n-1} + (2n-1)$

Atau, kita bisa mencari pola kuadratik. Misalkan suku ke-n adalah $S_n = An^2 + Bn + C$.
Untuk n=1: $A + B + C = 5$
Untuk n=2: $4A + 2B + C = 8$
Untuk n=3: $9A + 3B + C = 13$

Mengurangi persamaan pertama dari kedua: 
$(4A + 2B + C) - (A + B + C) = 8 - 5 
3A + B = 3$ (Persamaan 1)

Mengurangi persamaan kedua dari ketiga: 
$(9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 13 - 8 
5A + B = 5$ (Persamaan 2)

Mengurangi Persamaan 1 dari Persamaan 2:
$(5A + B) - (3A + B) = 5 - 3 
2A = 2 
A = 1$

Substitusikan A=1 ke Persamaan 1:
$3(1) + B = 3 
3 + B = 3 
B = 0$

Substitusikan A=1 dan B=0 ke persamaan pertama:
$1 + 0 + C = 5 
C = 4$

Jadi, rumus suku ke-n adalah $S_n = n^2 + 4$.

Sekarang kita hitung suku ke-50:
$S_{50} = 50^2 + 4 = 2500 + 4 = 2504$.