Tentukan nilai limit dari fungsi berikut ini! limit x -> 0

Nilai limitnya adalah 3/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$, kita dapat menggunakan identitas limit trigonometri dasar:
1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$
2. $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$

Kita perlu memanipulasi fungsi agar sesuai dengan bentuk identitas ini. Kita bisa mengalikan dan membagi dengan konstanta yang sesuai:

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan(3x)}{3x} \times 3x}{\frac{\sin(2x)}{2x} \times 2x}$

Sekarang, kita pisahkan limitnya:
$\frac{\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{3x} \times \lim_{x \to 0} 3x}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \times \lim_{x \to 0} 2x}$

Menggunakan identitas limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{3x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$

Jadi, ekspresi menjadi:
$\frac{1 \times \lim_{x \to 0} 3x}{1 \times \lim_{x \to 0} 2x}$

Ini masih menyisakan bentuk $\frac{0}{0}$ jika kita langsung substitusi $x=0$. Mari kita perbaiki manipulasi:

Kita punya $\frac{\tan(3x)}{\sin(2x)}$.
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $3x$ dan bagi dengan $2x$:
$\frac{\tan(3x)}{1} \times \frac{1}{\sin(2x)}$

$= \frac{\tan(3x)}{3x} \times 3x \times \frac{2x}{\sin(2x)} \times \frac{1}{2x}$

$= \left(\frac{\tan(3x)}{3x}\right) \times \left(\frac{2x}{\sin(2x)}\right) \times \frac{3x}{2x}$

Sekarang ambil limitnya saat $x \to 0$:
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\tan(3x)}{3x}\right) \times \lim_{x \to 0} \left(\frac{2x}{\sin(2x)}\right) \times \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x}$

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$, sehingga $\lim_{x \to 0} \frac{ax}{\sin(ax)} = 1$.

Maka:
$= 1 \times 1 \times \lim_{x \to 0} \frac{3}{2}$

$= 1 \times 1 \times \frac{3}{2}$

$= \frac{3}{2}$

Jadi, nilai limit dari fungsi tersebut adalah $\frac{3}{2}$ atau 1,5.