Tentukan nilai limit dari fungsi berikut ini. limit x->3

Nilai limitnya adalah 27/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi \(\lim_{x \to 3} \frac{3x^3-81}{x^2-9}\), kita perlu melakukan substitusi langsung terlebih dahulu. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut.

1.  **Substitusi Langsung:**
Ganti x dengan 3:
\(\frac{3(3)^3-81}{(3)^2-9} = \frac{3(27)-81}{9-9} = \frac{81-81}{9-9} = \frac{0}{0}\)
Karena hasilnya adalah \(\frac{0}{0}\), kita mendapatkan bentuk tak tentu, sehingga perlu dilakukan penyederhanaan.

2.  **Penyederhanaan Fungsi:**
Kita bisa memfaktorkan pembilang dan penyebut.
Pembilang: \(3x^3 - 81 = 3(x^3 - 27)\). Ingat rumus selisih kubus: \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\). Jadi, \(x^3 - 27 = (x-3)(x^2+3x+9)\).
Maka, pembilangnya menjadi \(3(x-3)(x^2+3x+9)\).

Penyebut: \(x^2 - 9\). Ini adalah selisih kuadrat: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Jadi, \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\).

Sekarang, fungsi limitnya menjadi:
\(\lim_{x \to 3} \frac{3(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}\)

Kita bisa membatalkan faktor \((x-3)\) karena \(x \to 3\) berarti \(x \neq 3\).
\(\lim_{x \to 3} \frac{3(x^2+3x+9)}{(x+3)}\)

3.  **Substitusi Kembali:**
Sekarang substitusikan x = 3 ke dalam fungsi yang telah disederhanakan:
\(\frac{3((3)^2+3(3)+9)}{(3+3)} = \frac{3(9+9+9)}{6} = \frac{3(27)}{6} = \frac{81}{6}\)

Sederhanakan pecahan \(\frac{81}{6}\) dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
\(\frac{81 \div 3}{6 \div 3} = \frac{27}{2}\)

Jadi, nilai limit dari fungsi tersebut adalah \(\frac{27}{2}\).