Tentukan nilai limitnya denganterlebih dulu mengalikannya

Nilai limitnya adalah 5/4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to 5} \frac{4-\sqrt{x^2-9}}{5-x}$ dengan mengalikannya dengan faktor sekawan, kita pertama-tama substitusikan $x=5$ untuk melihat bentuk tak tentunya.

Pembilang: $4 - \sqrt{5^2 - 9} = 4 - \sqrt{25 - 9} = 4 - \sqrt{16} = 4 - 4 = 0$.
Penyebut: $5 - 5 = 0$.

Karena hasilnya adalah bentuk $\frac{0}{0}$, kita perlu menggunakan teknik manipulasi aljabar, yaitu mengalikan dengan faktor sekawan dari pembilang.

Faktor sekawan dari $4 - \sqrt{x^2-9}$ adalah $4 + \sqrt{x^2-9}$.

$$ \lim_{x \to 5} \frac{4-\sqrt{x^2-9}}{5-x} \times \frac{4+\sqrt{x^2-9}}{4+\sqrt{x^2-9}} $$ 

Kalikan pembilang:
$(4 - \sqrt{x^2-9})(4 + \sqrt{x^2-9}) = 4^2 - (\sqrt{x^2-9})^2 = 16 - (x^2 - 9) = 16 - x^2 + 9 = 25 - x^2$.

Kalikan penyebut:
$(5-x)(4 + \sqrt{x^2-9})$

Jadi, limitnya menjadi:

$$ \lim_{x \to 5} \frac{25 - x^2}{(5-x)(4 + \sqrt{x^2-9})} $$ 

Kita bisa memfaktorkan $25 - x^2$ sebagai $(5-x)(5+x)$.

$$ \lim_{x \to 5} \frac{(5-x)(5+x)}{(5-x)(4 + \sqrt{x^2-9})} $$ 

Kita bisa membatalkan faktor $(5-x)$ karena $x \to 5$ tetapi $x \neq 5$.

$$ \lim_{x \to 5} \frac{5+x}{4 + \sqrt{x^2-9}} $$ 

Sekarang, substitusikan $x=5$ ke dalam ekspresi yang tersisa:

$$ \frac{5+5}{4 + \sqrt{5^2-9}} = \frac{10}{4 + \sqrt{25-9}} = \frac{10}{4 + \sqrt{16}} = \frac{10}{4 + 4} = \frac{10}{8} $$ 

Sederhanakan pecahan $\frac{10}{8}$ menjadi $\frac{5}{4}$.

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{5}{4}$.