Dengan induksi matematika, buktikan bahwa n<2^n, n e Z^+.

Terbukti dengan induksi matematika: Basis n=1 benar (1<2). Hipotesis k<2^k. Langkah induksi: k+1 < 2^k + 1 < 2^k + 2^k = 2^(k+1).

Pembahasan

Untuk membuktikan ketidaksamaan n < 2^n untuk n bilangan bulat positif (n ∈ Z^+) menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi
Kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk nilai n terkecil, yaitu n=1.
Untuk n=1: 1 < 2^1
1 < 2
Ini benar.
Jadi, pernyataan P(1) benar.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu P(k) benar.
Asumsikan: k < 2^k

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita harus menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k+1) juga benar.
Artinya, kita harus membuktikan bahwa (k+1) < 2^(k+1).

Kita mulai dari hipotesis induksi: k < 2^k.
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
k + 1 < 2^k + 1

Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa 2^k + 1 <= 2^(k+1).
Perhatikan bahwa 2^(k+1) = 2 * 2^k = 2^k + 2^k.
Kita perlu membandingkan 2^k + 1 dengan 2^k + 2^k.

Karena k ∈ Z^+, nilai k terkecil adalah 1.
Jika k=1, maka 2^k = 2^1 = 2. Maka 2^k + 1 = 2 + 1 = 3, dan 2^k + 2^k = 2 + 2 = 4. Jelas bahwa 3 < 4.
Jika k=2, maka 2^k = 2^2 = 4. Maka 2^k + 1 = 4 + 1 = 5, dan 2^k + 2^k = 4 + 4 = 8. Jelas bahwa 5 < 8.
Secara umum, untuk k >= 1, kita tahu bahwa 2^k >= 2.
Oleh karena itu, 2^k >= 1.

Maka, 2^k + 1 <= 2^k + 2^k = 2^(k+1).

Dari hipotesis induksi, kita punya k + 1 < 2^k + 1.
Karena 2^k + 1 <= 2^(k+1), maka kita dapat menyimpulkan bahwa:
k + 1 < 2^(k+1).

Ini menunjukkan bahwa P(k+1) benar.

Kesimpulan:
Karena P(1) benar, dan P(k) benar mengimplikasikan P(k+1) benar, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan n < 2^n benar untuk semua bilangan bulat positif n.