Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut

Maksimum: √2/4, Minimum: -1/3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = x / (2 + x^2) pada interval -1 <= x <= 4, kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut, mencari titik kritis dengan mengatur turunan sama dengan nol, dan mengevaluasi fungsi pada titik kritis serta pada batas interval.

1. Cari turunan pertama f'(x) menggunakan aturan hasil bagi:
f'(x) = [(1 * (2 + x^2)) - (x * 2x)] / (2 + x^2)^2
f'(x) = (2 + x^2 - 2x^2) / (2 + x^2)^2
f'(x) = (2 - x^2) / (2 + x^2)^2

2. Cari titik kritis dengan mengatur f'(x) = 0:
(2 - x^2) / (2 + x^2)^2 = 0
2 - x^2 = 0
x^2 = 2
x = ±√2

Titik kritis dalam interval [-1, 4] adalah x = √2 (karena -√2 berada di luar interval).

3. Evaluasi fungsi pada titik kritis dan batas interval:
f(-1) = -1 / (2 + (-1)^2) = -1 / (2 + 1) = -1/3
f(√2) = √2 / (2 + (√2)^2) = √2 / (2 + 2) = √2 / 4
f(4) = 4 / (2 + 4^2) = 4 / (2 + 16) = 4 / 18 = 2/9

4. Bandingkan nilai-nilai tersebut untuk menemukan maksimum dan minimum:
Nilai-nilai yang diperoleh adalah -1/3, √2/4, dan 2/9.
√2 ≈ 1.414, jadi √2/4 ≈ 0.3535
2/9 ≈ 0.222
-1/3 ≈ -0.333

Nilai maksimum adalah √2/4.
Nilai minimum adalah -1/3.

Jadi, nilai maksimum dari fungsi pada interval -1 <= x <= 4 adalah √2/4, dan nilai minimumnya adalah -1/3.