Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y=x^3+3x^2-24x.

Nilai maksimum adalah 80 (pada $x=-4$) dan nilai minimum adalah -28 (pada $x=2$).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi $y = x^3 + 3x^2 - 24x$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol untuk menemukan titik kritis.

Turunan pertama dari $y$ terhadap $x$ adalah:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 6x - 24$

Untuk mencari titik kritis, atur $\frac{dy}{dx} = 0$:
$3x^2 + 6x - 24 = 0$

Bagi seluruh persamaan dengan 3:
$x^2 + 2x - 8 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x + 4)(x - 2) = 0$

Ini memberikan dua nilai kritis untuk $x$: $x = -4$ dan $x = 2$.

Sekarang, kita substitusikan nilai-nilai $x$ ini kembali ke fungsi asli untuk menemukan nilai $y$ yang bersesuaian:

Untuk $x = -4$:
$y = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 24(-4)$
$y = -64 + 3(16) + 96$
$y = -64 + 48 + 96$
$y = 80$

Untuk $x = 2$:
$y = (2)^3 + 3(2)^2 - 24(2)$
$y = 8 + 3(4) - 48$
$y = 8 + 12 - 48$
$y = -28$

Untuk menentukan apakah nilai-nilai ini adalah maksimum atau minimum, kita bisa menggunakan uji turunan kedua:
Turunan kedua: $\frac{d^2y}{dx^2} = 6x + 6$

Untuk $x = -4$:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(-4) + 6 = -24 + 6 = -18$
Karena turunan kedua negatif, maka $x = -4$ memberikan nilai maksimum lokal.

Untuk $x = 2$:
$\frac{d^2y}{dx^2} = 6(2) + 6 = 12 + 6 = 18$
Karena turunan kedua positif, maka $x = 2$ memberikan nilai minimum lokal.

Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 80 (terjadi pada $x = -4$) dan nilai minimum fungsi adalah -28 (terjadi pada $x = 2$).