Tentukan nilai maksimum dari sistem pertidaksamaan di bawah

Nilai maksimumnya adalah 496.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari sistem pertidaksamaan dengan fungsi objektif $f(x,y) = 48x + 56y + 120$, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut. Sistem pertidaksamaannya adalah:
1. $x + y \ge 4$
2. $-2x + y 
egle 1$
3. $4x + y 
egle 13$

Kita akan mencari titik potong antara garis-garis yang membentuk batas daerah:

a. Titik potong garis 1 dan 2:
$x + y = 4 
-2x + y = 1$
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
$(x - (-2x)) + (y - y) = 4 - 1$
$3x = 3$
$x = 1$
Substitusikan x = 1 ke persamaan 1:
$1 + y = 4$
$y = 3$
Titik potong pertama adalah (1, 3).

b. Titik potong garis 1 dan 3:
$x + y = 4 
4x + y = 13$
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
$(4x - x) + (y - y) = 13 - 4$
$3x = 9$
$x = 3$
Substitusikan x = 3 ke persamaan 1:
$3 + y = 4$
$y = 1$
Titik potong kedua adalah (3, 1).

c. Titik potong garis 2 dan 3:
$-2x + y = 1 
4x + y = 13$
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
$(4x - (-2x)) + (y - y) = 13 - 1$
$6x = 12$
$x = 2$
Substitusikan x = 2 ke persamaan $-2x + y = 1$:
$-2(2) + y = 1$
$-4 + y = 1$
$y = 5$
Titik potong ketiga adalah (2, 5).

Sekarang kita evaluasi fungsi objektif $f(x,y) = 48x + 56y + 120$ di setiap titik pojok:
- Di titik (1, 3):
$f(1, 3) = 48(1) + 56(3) + 120 = 48 + 168 + 120 = 336$

- Di titik (3, 1):
$f(3, 1) = 48(3) + 56(1) + 120 = 144 + 56 + 120 = 320$

- Di titik (2, 5):
$f(2, 5) = 48(2) + 56(5) + 120 = 96 + 280 + 120 = 496$

Nilai maksimum dari fungsi objektif adalah 496, yang terjadi pada titik (2, 5).