Tentukan nilai masing-masing limit fungsi trigonometri

Nilai limitnya adalah 1.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi trigonometri \(\lim_{x \to 1} (1-x)\tan((\pi x)/2)\), kita dapat melakukan substitusi atau manipulasi aljabar.

Misalkan \(y = 1-x\). Ketika \(x \to 1\), maka \(y \to 0\). Selain itu, \(x = 1-y\).

Substitusikan \(y\) ke dalam limit:
\(\lim_{y \to 0} y \tan((\pi (1-y))/2)\)

Kita tahu bahwa \(\tan(\theta) = \sin(\theta) / \cos(\theta)\).
\(\tan((\pi (1-y))/2) = \tan(\pi/2 - \pi y/2)\)

Menggunakan identitas \(\tan(\pi/2 - \theta) = \cot(\theta)\):
\(\tan(\pi/2 - \pi y/2) = \cot(\pi y/2)\)

Jadi, limitnya menjadi:
\(\lim_{y \to 0} y \cot(\pi y/2)\)

Karena \(\cot(\theta) = 1 / \tan(\theta)\):
\(\lim_{y \to 0} y / \tan(\pi y/2)\)

Kita bisa memanipulasinya agar sesuai dengan limit standar \(\lim_{\theta \to 0} \theta / \tan(\theta) = 1\).
Kalikan dan bagi dengan \(\pi y/2\):
\(\lim_{y \to 0} (y \cdot \frac{\pi y/2}{\pi y/2}) / \tan(\pi y/2)\)
\(\lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan(\pi y/2)} \cdot \frac{\pi y/2}{\pi y/2}\)
\(\lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan(\pi y/2)} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{y}{y}\)
\(\lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan(\pi y/2)} \cdot \frac{\pi}{2}\)

Gunakan substitusi lagi, misalkan \(z = \pi y/2\). Ketika \(y \to 0\), maka \(z \to 0\). \(y = 2z/\pi\).
\(\lim_{z \to 0} \frac{2z/\pi}{\tan(z)} \cdot \frac{\pi}{2}\)
\(\lim_{z \to 0} \frac{2}{\pi} \cdot \frac{z}{\tan(z)} \cdot \frac{\pi}{2}\)

Karena \(\lim_{z \to 0} z / \tan(z) = 1\):
\(\frac{2}{\pi} \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{2} = 1\)

Jadi, nilai limitnya adalah 1.