Tentukan nilai minimum C=30x+10y dengan syarat:

Nilai minimum C adalah 3600 pada titik (60, 180).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum C=30x+10y dengan syarat yang diberikan, kita perlu menggunakan metode program linear.

Syarat-syaratnya adalah:
1) 1,8x + 0,9y >= 270
2) 0,3x + 0,2y >= 54
3) 0,01x + 0,03y >= 3,9
4) x >= 0
5) y >= 0

Kita dapat menyederhanakan pertidaksamaan pertama dan kedua:
1) 18x + 9y >= 2700  =>  2x + y >= 300
2) 3x + 2y >= 540

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Tentukan titik potong dari setiap garis pembatas.
   - Dari 2x + y = 300:
     - Jika x=0, maka y=300. Titik (0, 300)
     - Jika y=0, maka 2x=300 => x=150. Titik (150, 0)
   - Dari 3x + 2y = 540:
     - Jika x=0, maka 2y=540 => y=270. Titik (0, 270)
     - Jika y=0, maka 3x=540 => x=180. Titik (180, 0)
   - Dari 0,01x + 0,03y = 3,9 => x + 3y = 390:
     - Jika x=0, maka 3y=390 => y=130. Titik (0, 130)
     - Jika y=0, maka x=390. Titik (390, 0)

2. Cari titik potong antar garis:
   - Titik potong antara 2x + y = 300 dan 3x + 2y = 540:
     Kalikan persamaan pertama dengan 2: 4x + 2y = 600
     Kurangkan persamaan kedua: (4x + 2y) - (3x + 2y) = 600 - 540 => x = 60
     Substitusi x=60 ke 2x + y = 300: 2(60) + y = 300 => 120 + y = 300 => y = 180. Titik (60, 180)

   - Titik potong antara 2x + y = 300 dan x + 3y = 390:
     Dari 2x + y = 300, maka y = 300 - 2x
     Substitusi ke x + 3y = 390: x + 3(300 - 2x) = 390 => x + 900 - 6x = 390 => -5x = 390 - 900 => -5x = -510 => x = 102
     Substitusi x=102 ke y = 300 - 2x: y = 300 - 2(102) = 300 - 204 = 96. Titik (102, 96)

   - Titik potong antara 3x + 2y = 540 dan x + 3y = 390:
     Kalikan persamaan kedua dengan 3: 3x + 9y = 1170
     Kurangkan persamaan pertama: (3x + 9y) - (3x + 2y) = 1170 - 540 => 7y = 630 => y = 90
     Substitusi y=90 ke x + 3y = 390: x + 3(90) = 390 => x + 270 = 390 => x = 120. Titik (120, 90)

3. Tentukan titik-titik sudut yang memenuhi semua syarat. Karena semua pertidaksamaan adalah "besar dari atau sama dengan", maka daerah penyelesaian berada di atas garis-garis tersebut.
Titik-titik sudut yang mungkin adalah titik potong yang memenuhi semua pertidaksamaan:
   - (60, 180): C = 30(60) + 10(180) = 1800 + 1800 = 3600
   - (102, 96): C = 30(102) + 10(96) = 3060 + 960 = 4020
   - (120, 90): C = 30(120) + 10(90) = 3600 + 900 = 4500

   Perlu diperiksa apakah titik-titik potong ini memenuhi pertidaksamaan lain.
   Misalnya, titik (60, 180):
   - 2x + y = 2(60) + 180 = 120 + 180 = 300 (memenuhi)
   - 3x + 2y = 3(60) + 2(180) = 180 + 360 = 540 (memenuhi)
   - x + 3y = 60 + 3(180) = 60 + 540 = 600 >= 390 (memenuhi)

   Misalnya, titik (102, 96):
   - 2x + y = 2(102) + 96 = 204 + 96 = 300 (memenuhi)
   - 3x + 2y = 3(102) + 2(96) = 306 + 192 = 498 < 540 (TIDAK memenuhi)
   Jadi, titik (102, 96) bukan titik layak.

   Misalnya, titik (120, 90):
   - 2x + y = 2(120) + 90 = 240 + 90 = 330 >= 300 (memenuhi)
   - 3x + 2y = 3(120) + 2(90) = 360 + 180 = 540 (memenuhi)
   - x + 3y = 120 + 3(90) = 120 + 270 = 390 (memenuhi)

   Kita juga perlu mempertimbangkan titik potong dengan sumbu-sumbu jika relevan, namun karena semua pertidaksamaan adalah "besar dari atau sama dengan", titik minimum akan berada pada perpotongan garis-garis yang membentuk batas bawah daerah solusi.
   Perlu ada titik potong lain yang perlu diperiksa, yaitu perpotongan antara 3x+2y=540 dan sumbu y (yaitu x=0), serta perpotongan antara x+3y=390 dan sumbu x (yaitu y=0).
   Namun, dari analisis titik potong, kita menemukan titik-titik yang layak:
   - Titik (60, 180) -> C = 3600
   - Titik (120, 90) -> C = 4500

   Kita juga perlu memeriksa titik potong antara 2x+y=300 dan sumbu y (0,300) dan 3x+2y=540 dan sumbu x (180,0) serta x+3y=390 dan sumbu x (390,0) dan sumbu y (0,130).
   Namun, daerahnya adalah daerah tak terbatas ke atas dan ke kanan, sehingga kita mencari nilai minimum.

   Mari kita evaluasi titik-titik yang ditemukan:
   - Titik (60, 180): Memenuhi semua syarat. Nilai C = 30(60) + 10(180) = 1800 + 1800 = 3600.
   - Titik (120, 90): Memenuhi semua syarat. Nilai C = 30(120) + 10(90) = 3600 + 900 = 4500.
   - Titik perpotongan 3x + 2y = 540 dan x + 3y = 390 adalah (120, 90).
   - Titik perpotongan 2x + y = 300 dan x + 3y = 390 adalah (102, 96). Cek syarat 3x + 2y >= 540: 3(102) + 2(96) = 306 + 192 = 498. Tidak memenuhi.
   - Titik perpotongan 2x + y = 300 dan 3x + 2y = 540 adalah (60, 180). Cek syarat x + 3y >= 390: 60 + 3(180) = 60 + 540 = 600. Memenuhi.

   Titik-titik layak yang perlu dievaluasi adalah titik potong dari garis-garis pembatas yang berada dalam daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan.
   Dalam kasus ini, karena kita mencari nilai minimum dan daerahnya adalah daerah tak terbatas ke atas, kita perlu mencari titik sudut terdekat ke titik asal (0,0) yang masih memenuhi syarat.
   Kita perlu mengevaluasi titik-titik potong yang memenuhi semua pertidaksamaan:
   - Perpotongan 2x+y=300 dan 3x+2y=540 adalah (60, 180). Memenuhi x+3y>=390.
     C = 30(60) + 10(180) = 1800 + 1800 = 3600.
   - Perpotongan 3x+2y=540 dan x+3y=390 adalah (120, 90). Memenuhi 2x+y>=300.
     C = 30(120) + 10(90) = 3600 + 900 = 4500.
   - Perpotongan 2x+y=300 dan x+3y=390 adalah (102, 96). Tidak memenuhi 3x+2y>=540.

   Kemungkinan titik sudut lain yang perlu diperiksa adalah titik potong dengan sumbu jika itu merupakan batas wilayah.
   Namun, karena semua tanda pertidaksamaan adalah "besar dari atau sama dengan", titik-titik sudut yang relevan adalah titik potong antar garis pembatas di kuadran pertama.
   Titik layak yang kita temukan adalah (60, 180) dan (120, 90).
   Nilai C pada (60, 180) adalah 3600.
   Nilai C pada (120, 90) adalah 4500.

   Nilai minimum adalah 3600 yang terjadi pada titik (60, 180).

Jawaban:
Nilai minimum C = 30x + 10y dengan syarat yang diberikan adalah 3600, yang dicapai pada titik x = 60 dan y = 180.