Tentukan nilai-nilai integral berikut.integral akar(16-x^2)

8 arcsin(x/4) + (x/2)akar(16-x^2) + C

Pembahasan

Untuk menentukan nilai integral dari akar(16-x^2) dx, kita dapat menggunakan substitusi trigonometri. Misalkan x = 4 sin(theta), maka dx = 4 cos(theta) d(theta). Akar(16-x^2) menjadi akar(16 - 16 sin^2(theta)) = akar(16 cos^2(theta)) = 4 cos(theta). Integral menjadi integral (4 cos(theta)) * (4 cos(theta) d(theta)) = integral 16 cos^2(theta) d(theta). Menggunakan identitas cos^2(theta) = (1 + cos(2*theta))/2, integral menjadi integral 16 * ((1 + cos(2*theta))/2) d(theta) = integral 8(1 + cos(2*theta)) d(theta) = 8(theta + (1/2)sin(2*theta)) + C. Karena x = 4 sin(theta), maka theta = arcsin(x/4). Menggunakan identitas sin(2*theta) = 2 sin(theta) cos(theta) = 2 * (x/4) * akar(1 - (x/4)^2) = (x/2) * akar(16-x^2)/4 = (x/8)akar(16-x^2). Jadi, hasilnya adalah 8 arcsin(x/4) + 8 * ((x/8)akar(16-x^2)) + C = 8 arcsin(x/4) + (x/2)akar(16-x^2) + C. Ini adalah integral tak tentu. Jika ini adalah integral tentu dengan batas tertentu, maka nilai C akan hilang setelah dikurangi.