Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematika

Nilai optimum (maksimum) dari z=x+y adalah 20.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai optimum (maksimum) dari fungsi objektif z = x + y, kita perlu menggunakan metode program linear, khususnya metode substitusi atau eliminasi pada titik-titik pojok daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear yang diberikan.

Sistem pertidaksamaan linear:
1. 2x + y ≤ 30
2. 2x + 3y ≤ 50
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Fungsi objektif yang akan dimaksimalkan: z = x + y

Langkah 1: Cari titik potong sumbu x dan y untuk setiap pertidaksamaan.

Pertidaksamaan 1: 2x + y = 30
- Jika x = 0, maka y = 30. Titik: (0, 30)
- Jika y = 0, maka 2x = 30 => x = 15. Titik: (15, 0)

Pertidaksamaan 2: 2x + 3y = 50
- Jika x = 0, maka 3y = 50 => y = 50/3 ≈ 16.67. Titik: (0, 50/3)
- Jika y = 0, maka 2x = 50 => x = 25. Titik: (25, 0)

Langkah 2: Cari titik potong antara garis 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50.
Kita bisa menggunakan metode eliminasi:
(2x + 3y = 50)
- (2x + y = 30)
----------------
      2y = 20
        y = 10

Substitusikan y = 10 ke salah satu persamaan, misalnya 2x + y = 30:
2x + 10 = 30
2x = 20
x = 10

Jadi, titik potong kedua garis adalah (10, 10).

Langkah 3: Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian.
Daerah penyelesaian dibatasi oleh sumbu x (y=0), sumbu y (x=0), dan kedua garis batas.
Titik-titik pojok adalah:
- Titik perpotongan sumbu y dengan batas daerah: (0, 50/3) (karena 50/3 < 30)
- Titik perpotongan sumbu x dengan batas daerah: (15, 0) (karena 15 < 25)
- Titik potong kedua garis batas: (10, 10)

Perlu diperiksa apakah titik (0,30) dan (25,0) termasuk dalam daerah penyelesaian.
Untuk (0,30): 2(0) + 30 = 30 <= 50 (Salah, karena 30 tidak <= 50). Jadi (0,30) bukan titik pojok.
Untuk (25,0): 2(25) + 0 = 50 <= 30 (Salah, karena 50 tidak <= 30). Jadi (25,0) bukan titik pojok.

Namun, kita harus lebih hati-hati dalam menentukan titik pojok. Titik pojok adalah persimpangan dari garis-garis pembatas yang membentuk daerah yang layak.

Daerah layak dibatasi oleh:
x = 0
y = 0
2x + y = 30
2x + 3y = 50

Titik pojok adalah:
1. Perpotongan x=0 dan y=0: (0,0)
2. Perpotongan x=0 dan 2x+3y=50: (0, 50/3)
3. Perpotongan y=0 dan 2x+y=30: (15,0)
4. Perpotongan 2x+y=30 dan 2x+3y=50: (10,10)

Kita harus memastikan bahwa titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan.
- (0,0): 2(0)+0<=30 (Benar), 2(0)+3(0)<=50 (Benar).
- (0, 50/3): 2(0)+50/3<=30 (Benar, 16.67<=30), 2(0)+3(50/3)<=50 (Benar, 50<=50).
- (15,0): 2(15)+0<=30 (Benar, 30<=30), 2(15)+3(0)<=50 (Benar, 30<=50).
- (10,10): 2(10)+10<=30 (Benar, 30<=30), 2(10)+3(10)<=50 (Benar, 50<=50).

Jadi, titik-titik pojok daerah penyelesaian yang memenuhi adalah (0,0), (0, 50/3), (15,0), dan (10,10).

Langkah 4: Substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi objektif z = x + y.
- Di (0,0): z = 0 + 0 = 0
- Di (0, 50/3): z = 0 + 50/3 = 50/3 ≈ 16.67
- Di (15,0): z = 15 + 0 = 15
- Di (10,10): z = 10 + 10 = 20

Langkah 5: Tentukan nilai optimum.
Nilai maksimum dari z adalah nilai terbesar yang diperoleh dari substitusi titik-titik pojok.
Nilai maksimum adalah 20, yang terjadi pada titik (10, 10).

Jadi, nilai optimum (maksimum) dari bentuk objektif z = x + y adalah 20.