Tentukan nilai r yang memenuhi setiap persamaan berikut

Untuk bagian a, dengan asumsi ada kesalahan pengetikan pada nilai 10 P r, nilai r adalah 3. Untuk bagian b, nilai r adalah 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan nilai \(r\) yang memenuhi kedua persamaan yang diberikan:

a. \(10 P r = 604.800\) dan \(10 C r = 120\)
   Kita tahu bahwa \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\) dan \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\). Dari persamaan \(10 C r = 120\), kita dapat mencari nilai \(r\). Kita bisa mencoba beberapa nilai \(r\):
   - Jika \(r=1\), \(10 C 1 = 10\)
   - Jika \(r=2\), \(10 C 2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\)
   - Jika \(r=3\), \(10 C 3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\)
   Jadi, \(r=3\). Sekarang kita cek dengan persamaan \(10 P r = 604.800\):
   \(10 P 3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\).
   Terdapat ketidaksesuaian antara nilai yang diberikan pada soal a. Mari kita asumsikan ada kesalahan pengetikan pada salah satu nilai. Jika kita menggunakan \(10 P r = 720\) dan \(10 C r = 120\), maka \(r=3\) memenuhi kedua persamaan tersebut.

b. \(8 C r - 7 C 3 = 7 C 2\)
   Pertama, kita hitung nilai \(7 C 3\) dan \(7 C 2\):
   \(7 C 3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 	imes 5}{3 	imes 2 	imes 1} = 35\)
   \(7 C 2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 	imes 6}{2 	imes 1} = 21\)
   Sekarang kita substitusikan ke dalam persamaan:
   \(8 C r - 35 = 21\)
   \(8 C r = 21 + 35\)
   \(8 C r = 56\)
   Sekarang kita cari nilai \(r\) yang memenuhi \(8 C r = 56\):
   - Jika \(r=1\), \(8 C 1 = 8\)
   - Jika \(r=2\), \(8 C 2 = \frac{8 	imes 7}{2 	imes 1} = 28\)
   - Jika \(r=3\), \(8 C 3 = \frac{8 	imes 7 	imes 6}{3 	imes 2 	imes 1} = 56\)
   Jadi, nilai \(r\) yang memenuhi adalah 3.