Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi

Nilai stasioner minimum adalah $\frac{40}{27}$ di $x = \frac{1}{3}$, dan nilai stasioner maksimum adalah 20 di $x = -3$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi $f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 2$, kita perlu menggunakan turunan pertama dan kedua.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari fungsi f(x).
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 4x^2 - 3x + 2)$
$f'(x) = 3x^2 + 8x - 3$

Langkah 2: Tentukan titik stasioner dengan menyamakan turunan pertama dengan nol.
$f'(x) = 0$
$3x^2 + 8x - 3 = 0$

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat ini, di mana a=3, b=8, c=-3.
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)}$
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6}$
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{6}$
$x = \frac{-8 \pm 10}{6}$

Dua nilai x stasioner adalah:
$x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Langkah 3: Cari turunan kedua dari fungsi f(x).
$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 8x - 3)$
$f''(x) = 6x + 8$

Langkah 4: Gunakan turunan kedua untuk menentukan jenis titik stasioner.
- Untuk $x_1 = \frac{1}{3}$:
$f''(\frac{1}{3}) = 6(\frac{1}{3}) + 8 = 2 + 8 = 10$
Karena $f''(\frac{1}{3}) > 0$, maka pada $x = \frac{1}{3}$ terdapat titik balik minimum.
Nilai stasionernya: $f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 + 4(\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) + 2$
$f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 4(\frac{1}{9}) - 1 + 2$
$f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{4}{9} + 1$
$f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{12}{27} + \frac{27}{27} = \frac{1+12+27}{27} = \frac{40}{27}$

- Untuk $x_2 = -3$:
$f''(-3) = 6(-3) + 8 = -18 + 8 = -10$
Karena $f''(-3) < 0$, maka pada $x = -3$ terdapat titik balik maksimum.
Nilai stasionernya: $f(-3) = (-3)^3 + 4(-3)^2 - 3(-3) + 2$
$f(-3) = -27 + 4(9) + 9 + 2$
$f(-3) = -27 + 36 + 9 + 2$
$f(-3) = 9 + 9 + 2 = 20$

Kesimpulan:
Nilai stasioner minimum adalah $\frac{40}{27}$ pada $x = \frac{1}{3}$.
Nilai stasioner maksimum adalah 20 pada $x = -3$.