Tentukan nilai x yang memenuhi pertidak-samaan berikut.

x < -3 atau x > 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{x+1}{2-x} \le \frac{x}{3+x}$, kita perlu memindah semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama.

1. Pindahkan semua suku ke sisi kiri:
   $\frac{x+1}{2-x} - \frac{x}{3+x} \le 0$

2. Cari penyebut bersama, yaitu $(2-x)(3+x)$:
   $\frac{(x+1)(3+x) - x(2-x)}{(2-x)(3+x)} \le 0$

3. Jabarkan dan sederhanakan pembilangnya:
   $\frac{(3x + x^2 + 3 + x) - (2x - x^2)}{(2-x)(3+x)} \le 0$
   $\frac{3x + x^2 + 3 + x - 2x + x^2}{(2-x)(3+x)} \le 0$
   $\frac{2x^2 + 2x + 3}{(2-x)(3+x)} \le 0$

4. Analisis tanda pembilang dan penyebut:
   - **Pembilang:** $2x^2 + 2x + 3$. Untuk mengetahui tandanya, kita bisa lihat diskriminannya: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(2)(3) = 4 - 24 = -20$. Karena $D < 0$ dan koefisien $x^2$ (yaitu 2) positif, maka pembilang $2x^2 + 2x + 3$ selalu positif untuk semua nilai $x$ yang real.
   - **Penyebut:** $(2-x)(3+x)$. Penyebut ini akan nol jika $x=2$ atau $x=-3$. Nilai-nilai ini tidak boleh menjadi solusi karena membuat penyebut menjadi nol.

5. Tentukan tanda pertidaksamaan:
   Karena pembilang selalu positif, tanda pertidaksamaan $\frac{\text{positif}}{(2-x)(3+x)} \le 0$ akan bergantung pada tanda penyebut $(2-x)(3+x)$. Agar hasil pembagian menjadi kurang dari atau sama dengan nol (negatif atau nol), penyebut harus negatif.
   Jadi, kita perlu $(2-x)(3+x) < 0$.
   Kita uji interval:
     - Jika $x < -3$: Ambil $x=-4$. $(2-(-4))(3+(-4)) = (6)(-1) = -6$ (negatif).
     - Jika $-3 < x < 2$: Ambil $x=0$. $(2-0)(3+0) = (2)(3) = 6$ (positif).
     - Jika $x > 2$: Ambil $x=3$. $(2-3)(3+3) = (-1)(6) = -6$ (negatif).

   Agar $(2-x)(3+x) < 0$, maka $x < -3$ atau $x > 2$.

   Karena pertidaksamaan asli adalah $\le 0$, dan kita sudah menentukan pembilang selalu positif, maka kita perlu penyebut negatif. Nilai $x$ yang membuat penyebut nol (yaitu $x=2$ dan $x=-3$) tidak termasuk dalam solusi.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah $x < -3$ atau $x > 2$.