Tentukan panjang busur kurva y = x^(3/2) dari x=0 sampai

Panjang busur adalah (13 * sqrt(13) - 8) / 27.

Pembahasan

Untuk menentukan panjang busur kurva y = x^(3/2) dari x=0 sampai x=1, kita perlu menggunakan rumus panjang busur dalam kalkulus.

Rumus panjang busur (s) untuk sebuah fungsi y = f(x) dari x=a sampai x=b adalah:
s = ∫[a, b] sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

Langkah 1: Cari turunan pertama (dy/dx) dari fungsi y = x^(3/2).
dy/dx = d/dx (x^(3/2))
dy/dx = (3/2) * x^((3/2) - 1)
dy/dx = (3/2) * x^(1/2)

Langkah 2: Kuadratkan turunan pertama.
(dy/dx)^2 = ((3/2) * x^(1/2))^2
(dy/dx)^2 = (9/4) * x

Langkah 3: Substitusikan ke dalam rumus panjang busur dengan a=0 dan b=1.
s = ∫[0, 1] sqrt(1 + (9/4)x) dx

Langkah 4: Lakukan substitusi u = 1 + (9/4)x. Maka du = (9/4)dx, atau dx = (4/9)du.
Ketika x=0, u = 1 + (9/4)*0 = 1.
Ketika x=1, u = 1 + (9/4)*1 = 1 + 9/4 = 13/4.

Integral menjadi:
s = ∫[1, 13/4] sqrt(u) * (4/9)du
s = (4/9) ∫[1, 13/4] u^(1/2) du

Langkah 5: Integralkan u^(1/2).
∫ u^(1/2) du = (u^((1/2)+1)) / ((1/2)+1) = (u^(3/2)) / (3/2) = (2/3)u^(3/2)

Langkah 6: Evaluasi integral pada batas-batasnya.
s = (4/9) * [(2/3)u^(3/2)] |_[1, 13/4]
s = (4/9) * [(2/3)(13/4)^(3/2) - (2/3)(1)^(3/2)]
s = (4/9) * (2/3) * [(13/4)^(3/2) - 1]
s = (8/27) * [(13 * sqrt(13)) / (4 * sqrt(4)) - 1]
s = (8/27) * [(13 * sqrt(13)) / 8 - 1]
s = (13 * sqrt(13)) / 27 - 8/27
s = (13 * sqrt(13) - 8) / 27

Jadi, panjang busur kurva y = x^(3/2) dari x=0 sampai x=1 adalah (13 * sqrt(13) - 8) / 27.