Tentukan penyelesaian dari pertidak- samaan I2x + 5| >=Ix +

Penyelesaiannya adalah x \le -3 atau x \ge -1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak \(|2x + 5| \ge |x + 4|\), kita dapat mengkuadratkan kedua sisi karena kedua sisi bernilai non-negatif.

Kuadratkan kedua sisi:
\((2x + 5)^2 \ge (x + 4)^2\)

Jabarkan kedua sisi:
\(4x^2 + 20x + 25 \ge x^2 + 8x + 16\)

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
\(4x^2 - x^2 + 20x - 8x + 25 - 16 \ge 0\)
\(3x^2 + 12x + 9 \ge 0\)

Bagi seluruh pertidaksamaan dengan 3 (karena 3 positif, arah pertidaksamaan tidak berubah):
\(x^2 + 4x + 3 \ge 0\)

Faktorkan pertidaksamaan kuadrat tersebut:
Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 3 dan jika dijumlahkan menghasilkan 4. Bilangan tersebut adalah 1 dan 3.
\((x + 1)(x + 3) \ge 0\)

Sekarang kita tentukan interval solusi dengan mencari akar-akar persamaan \((x + 1)(x + 3) = 0\), yaitu \(x = -1\) dan \(x = -3\).

Kita uji interval yang dibentuk oleh akar-akar ini pada pertidaksamaan \(x^2 + 4x + 3 \ge 0\):
1. Interval \(x < -3\): Ambil \(x = -4\). Maka, \((-4)^2 + 4(-4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3\). Karena \(3 \ge 0\), interval ini memenuhi.
2. Interval \(-3 \le x \le -1\): Ambil \(x = -2\). Maka, \((-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\). Karena \(-1 < 0\), interval ini tidak memenuhi.
3. Interval \(x > -1\): Ambil \(x = 0\). Maka, \(0^2 + 4(0) + 3 = 3\). Karena \(3 \ge 0\), interval ini memenuhi.

Karena pertidaksamaan menggunakan \(\ge 0\), maka akar-akarnya juga termasuk dalam solusi.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan \(|2x + 5| \ge |x + 4|\) adalah \(x \le -3\) atau \(x \ge -1\).

Dalam notasi interval, solusinya adalah \((-\infty, -3] \cup [-1, \infty)\).