Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar

Penyelesaiannya adalah $-5 < x \leq -3$ atau $3 \leq x < 5$.

Pembahasan

Untuk menentukan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar $\sqrt{x^2-9} < 4$, kita perlu menghilangkan akar kuadrat dan menyelesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan. Selain itu, kita juga harus memastikan bahwa ekspresi di dalam akar kuadrat tidak negatif (syarat numerus).

Langkah 1: Tentukan syarat numerus (ekspresi di dalam akar harus non-negatif).
$x^2 - 9 \geq 0$
$(x-3)(x+3) \geq 0$
Ini terjadi ketika $x \leq -3$ atau $x \geq 3$.

Langkah 2: Kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan akar.
$(\sqrt{x^2-9})^2 < 4^2$
$x^2 - 9 < 16$

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan kuadrat yang dihasilkan.
$x^2 - 9 - 16 < 0$
$x^2 - 25 < 0$
$(x-5)(x+5) < 0$

Untuk menyelesaikan $(x-5)(x+5) < 0$, kita cari pembuat nol yaitu $x=5$ dan $x=-5$. Kemudian kita uji interval:
- Jika $x < -5$, misal $x=-6$: $(-6-5)(-6+5) = (-11)(-1) = 11 > 0$ (Tidak memenuhi)
- Jika $-5 < x < 5$, misal $x=0$: $(0-5)(0+5) = (-5)(5) = -25 < 0$ (Memenuhi)
- Jika $x > 5$, misal $x=6$: $(6-5)(6+5) = (1)(11) = 11 > 0$ (Tidak memenuhi)

Jadi, solusi dari $x^2 - 25 < 0$ adalah $-5 < x < 5$.

Langkah 4: Gabungkan solusi dengan syarat numerus.
Kita memiliki dua kondisi:
1. $x \leq -3$ atau $x \geq 3$
2. $-5 < x < 5$

Kita cari irisan dari kedua kondisi ini.
Dari kondisi 2, kita punya interval $(-5, 5)$.
Dari kondisi 1, kita punya interval $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Irisan dari $(-5, 5)$ dengan $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$ adalah:
- $(-5, 5)$ $\cap$ $(-\infty, -3]$ = $(-5, -3]$
- $(-5, 5)$ $\cap$ $[3, \infty)$ = $[3, 5)$

Jadi, gabungan kedua interval ini adalah $-5 < x \leq -3$ atau $3 \leq x < 5$.

Penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar tersebut adalah $-5 < x \leq -3$ atau $3 \leq x < 5$.