Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. log

Penyelesaiannya adalah 4 < x < 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma log (x-4) + log(x+8) < log(2x+16), kita perlu mengikuti beberapa langkah:

1.  **Tentukan Domain (Syarat Numerus):
    Agar logaritma terdefinisi, argumen (numerus) dari logaritma harus positif.
    *   x - 4 > 0  => x > 4
    *   x + 8 > 0  => x > -8
    *   2x + 16 > 0 => 2x > -16 => x > -8
    Agar ketiga syarat terpenuhi, domain yang valid adalah x > 4.

2.  **Sederhanakan Pertidaksamaan Menggunakan Sifat Logaritma:**
    Gunakan sifat logaritma log a + log b = log (a * b) pada sisi kiri pertidaksamaan:
    log ((x-4)(x+8)) < log(2x+16)

    Karena basis logaritma (diasumsikan basis 10 atau basis e, yang keduanya > 1) sama dan fungsi logaritma bersifat monoton naik, kita dapat menghilangkan logaritma dari kedua sisi:
    (x-4)(x+8) < 2x+16

3.  **Selesaikan Pertidaksamaan Hasil Penyederhanaan:**
    Buka kurung pada sisi kiri:
    x^2 + 8x - 4x - 32 < 2x + 16
    x^2 + 4x - 32 < 2x + 16

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan kuadrat:
    x^2 + 4x - 2x - 32 - 16 < 0
    x^2 + 2x - 48 < 0

4.  **Cari Akar-akar Persamaan Kuadrat x^2 + 2x - 48 = 0:**
    Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -48 dan jika dijumlahkan menghasilkan 2. Bilangan tersebut adalah 8 dan -6.
    (x + 8)(x - 6) = 0
    Akar-akarnya adalah x = -8 dan x = 6.

5.  **Tentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat:**
    Pertidaksamaan x^2 + 2x - 48 < 0 berarti kita mencari nilai x di mana parabola y = x^2 + 2x - 48 berada di bawah sumbu-x. Karena koefisien x^2 positif, parabola terbuka ke atas. Dengan akar-akar di -8 dan 6, nilai x^2 + 2x - 48 < 0 ketika x berada di antara akar-akarnya:
    -8 < x < 6

6.  **Gabungkan dengan Domain:**
    Kita harus menggabungkan solusi dari pertidaksamaan kuadrat (-8 < x < 6) dengan domain yang telah kita tentukan sebelumnya (x > 4).
    Irisan dari kedua kondisi ini adalah:
    4 < x < 6

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan log (x-4) + log(x+8) < log(2x+16) adalah 4 < x < 6.