Tentukan penyelesaian sistem persamaan Iinear tiga variabel

x = 3, y = 1, z = -2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
1) 5x - y + z = 12
2) 2x + 3y - 4z = 17
3) x - 2y - 3z = 7

Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi.

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel dari dua pasang persamaan.
Mari kita eliminasi 'y' menggunakan persamaan (1) dan (3).
Kalikan persamaan (1) dengan 2:
2 * (5x - y + z) = 2 * 12
10x - 2y + 2z = 24 (Persamaan 1')

Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (1'):
(10x - 2y + 2z) - (x - 2y - 3z) = 24 - 7
10x - 2y + 2z - x + 2y + 3z = 17
9x + 5z = 17 (Persamaan 4)

Sekarang, mari kita eliminasi 'y' menggunakan persamaan (2) dan (3).
Kalikan persamaan (2) dengan 2:
2 * (2x + 3y - 4z) = 2 * 17
4x + 6y - 8z = 34 (Persamaan 2')
Kalikan persamaan (3) dengan 3:
3 * (x - 2y - 3z) = 3 * 7
3x - 6y - 9z = 21 (Persamaan 3')

Jumlahkan persamaan (2') dan (3'):
(4x + 6y - 8z) + (3x - 6y - 9z) = 34 + 21
4x + 6y - 8z + 3x - 6y - 9z = 55
7x - 17z = 55 (Persamaan 5)

Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan dua variabel yang baru (Persamaan 4 dan 5).
Kita punya:
4) 9x + 5z = 17
5) 7x - 17z = 55

Mari kita eliminasi 'z'. Kalikan persamaan (4) dengan 17 dan persamaan (5) dengan 5.
17 * (9x + 5z) = 17 * 17
153x + 85z = 289 (Persamaan 4')

5 * (7x - 17z) = 5 * 55
35x - 85z = 275 (Persamaan 5')

Jumlahkan persamaan (4') dan (5'):
(153x + 85z) + (35x - 85z) = 289 + 275
153x + 85z + 35x - 85z = 564
188x = 564
x = 564 / 188
x = 3

Langkah 3: Substitusikan nilai x ke salah satu persamaan dua variabel (misalnya Persamaan 4) untuk mencari nilai z.
9x + 5z = 17
9(3) + 5z = 17
27 + 5z = 17
5z = 17 - 27
5z = -10
z = -10 / 5
z = -2

Langkah 4: Substitusikan nilai x dan z ke salah satu persamaan awal (misalnya Persamaan 1) untuk mencari nilai y.
5x - y + z = 12
5(3) - y + (-2) = 12
15 - y - 2 = 12
13 - y = 12
-y = 12 - 13
-y = -1
y = 1

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel adalah x = 3, y = 1, dan z = -2.