Tentukan persamaan garis asimtot tegak dan asimtot datar

Asimtot tegak: x = -5 dan x = -3, Asimtot datar: y = 0

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi f(x) = -1 / akar(x^2 + 8x + 15), kita perlu menganalisis perilaku fungsi ketika x mendekati nilai tertentu.

1. Asimtot Tegak:
Asimtot tegak terjadi ketika penyebut fungsi mendekati nol, menyebabkan fungsi menuju tak hingga. Dalam kasus ini, penyebutnya adalah akar(x^2 + 8x + 15). Agar penyebut mendekati nol, ekspresi di dalam akar harus mendekati nol.

x^2 + 8x + 15 = 0
Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
(x + 3)(x + 5) = 0
Ini memberikan akar-akar x = -3 dan x = -5.

Namun, kita juga harus mempertimbangkan bahwa ekspresi di dalam akar kuadrat harus non-negatif, yaitu x^2 + 8x + 15 >= 0. Dengan menganalisis tanda dari (x+3)(x+5), kita menemukan bahwa ekspresi ini positif ketika x < -5 atau x > -3.

Karena fungsi didefinisikan ketika x^2 + 8x + 15 > 0 (penyebut tidak boleh nol dan di dalam akar harus positif), maka domain fungsi adalah x < -5 atau x > -3. 

Pada batas-batas domain ini, penyebut mendekati nol. Oleh karena itu, asimtot tegak terjadi pada x = -5 dan x = -3.

2. Asimtot Datar:
Asimtot datar berkaitan dengan perilaku fungsi ketika x mendekati positif tak hingga (x -> ∞) atau negatif tak hingga (x -> -∞).

Kita perlu melihat batas dari f(x) ketika x -> ∞ dan x -> -∞.
lim (x->∞) -1 / akar(x^2 + 8x + 15)
Untuk x yang sangat besar, x^2 mendominasi suku lainnya di dalam akar. Jadi, akar(x^2 + 8x + 15) berperilaku seperti akar(x^2) = |x|.

Ketika x -> ∞, |x| = x.
lim (x->∞) -1 / x = 0

Ketika x -> -∞, |x| = -x.
lim (x->-∞) -1 / akar(x^2 + 8x + 15)
lim (x->-∞) -1 / akar(x^2(1 + 8/x + 15/x^2))
lim (x->-∞) -1 / (|x| * akar(1 + 8/x + 15/x^2))
lim (x->-∞) -1 / (-x * akar(1 + 8/x + 15/x^2))
Ketika x -> -∞, 8/x -> 0 dan 15/x^2 -> 0.
lim (x->-∞) -1 / (-x * 1) = lim (x->-∞) 1/x = 0

Jadi, asimtot datar untuk fungsi ini adalah y = 0.

Kesimpulan:
Asimtot tegak: x = -5 dan x = -3
Asimtot datar: y = 0